Para a seguinte onda plana no vácuo se propagando na direção
:
Mostre usando as equações de Maxweel (1) e (2) que as ondas eletromagnéticas são transversais, isto é:
Dado:
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma onda eletromagnética plana que se propaga no vácuo na direção do eixo $ z $. As expressões para os campos elétrico $ \vec{E} $ e magnético $ \vec{B} $ são dadas por:
A questão quer que a gente mostre, usando as equações de Maxwell, que essas ondas são transversais. Isso significa que os campos $ \vec{E} $ e $ \vec{B} $ não têm componente na direção de propagação $ z $, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar algumas das equações de Maxwell que relacionam os campos elétrico e magnético e a propagação das ondas eletromagnéticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de duas importantes equações de Maxwell no vácuo:
- Lei de Faraday da Indução:
- Lei de Ampère-Maxwell:
Essas equações vão nos ajudar a relacionar os campos elétrico e magnético e a direção de propagação da onda.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional do campo elétrico $ \vec{E} $. Sabemos que a onda está se propagando na direção $ z $, então podemos expressar $ \vec{E} $ como:
Aqui, assumimos que o campo elétrico está na direção $ x $. O rotacional de $ \vec{E} $ em coordenadas cartesianas é dado por:
Como $ \vec{E} $ tem apenas componente em $ x $, $ E_y = E_z = 0 $. Então, o rotacional simplifica para:
Calculando a derivada:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada temporal do campo magnético $ \vec{B} $. Assumindo que $ \vec{B} $ está na direção $ y $:
A derivada temporal é:
Segundo a Lei de Faraday da Indução:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agora analisar a propagação da onda. A relação entre $ k $ e $ \omega $ para ondas eletromagnéticas no vácuo é dada por:
onde $ c $ é a velocidade da luz no vácuo, e $ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}} $.
Substituindo $ \omega = c k $ na equação anterior:
Cancelando $ k $ dos dois lados:
Isso mostra que os campos $ \vec{E} $ e $ \vec{B} $ estão relacionados em magnitude e direção, confirmando que eles são perpendiculares entre si e à direção de propagação.
Passo 6
Para concluir que a onda é transversal, precisamos mostrar que não há componente dos campos $ \vec{E} $ e $ \vec{B} $ na direção de propagação $ z $.
Pelo que assumimos, $ \vec{E} $ está na direção $ x $ e $ \vec{B} $ na direção $ y $, ambas perpendiculares a $ z $. Além disso, a análise das equações de Maxwell que fizemos confirma que não há componente em $ z $.
Resposta
Concluímos que $ \hat{z} \cdot \vec{E} = 0 $ e $ \hat{z} \cdot \vec{B} = 0 $, ou seja, as ondas eletromagnéticas são transversais, sem componentes nas direções de propagação.