Usando as equações de Maxwell acima, mostre que elas satisfazem o principio de conservação da carga elétrica descrito pela eq. da continuidade
Dica: Calcule a divergência da eq. (3); Use que para qualquer campo vetorial
vale a igualdade
. Use também a eq. (1) para trocar
por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar as equações de Maxwell para mostrar que elas obedecem o princípio de conservação da carga elétrica, que é descrito pela equação da continuidade:
Então, vamos precisar conhecer as equações de Maxwell e entender o que cada termo representa para conectar tudo isso e chegar na equação da continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das equações de Maxwell que vamos usar. A que vamos focar aqui é a Lei de Ampère-Maxwell, que relaciona o campo magnético
com a corrente elétrica
e a variação do campo elétrico
:
Essa equação basicamente diz que o campo magnético é gerado por correntes elétricas e pela mudança no campo elétrico ao longo do tempo.
Passo 3
O próximo passo é calcular a divergência dos dois lados da Lei de Ampère-Maxwell. A divergência é uma operação matemática que, de certa forma, mede “quanto” um campo está “saindo” de um ponto. Aplicando isso na equação:
Mas aqui entra uma propriedade importante: a divergência de um rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero. Ou seja:
Então, o lado esquerdo da nossa equação se torna zero.
Passo 4
Agora, vamos simplificar o lado direito da equação. Podemos distribuir a divergência:
Dividindo ambos os lados por
para simplificar:
Passo 5
Agora, vamos usar outra equação de Maxwell, a Lei de Gauss para o campo elétrico, que diz:
Isso nos permite substituir
na nossa equação anterior:
Simplificando
:
Passo 6
Rearranjando os termos para isolar
:
Essa é exatamente a equação da continuidade que queríamos provar!
Resposta
As equações de Maxwell satisfazem o princípio de conservação da carga elétrica, conforme a equação da continuidade: