Usando as equações de Maxwell acima, mostre que elas satisfazem o principio de conservação da carga elétrica descrito pela eq. da continuidade
nabla cdot j=-partial rho / partial t
Dica: Calcule a divergência da eq. (3); Use que para qualquer campo vetorial A vale a igualdade nabla cdot(nabla times A)=0. Use também a eq. (1) para trocar E por rho.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar as equações de Maxwell para mostrar que elas obedecem o princípio de conservação da carga elétrica, que é descrito pela equação da continuidade:
nabla cdot j = -partial rhopartial t
Então, vamos precisar conhecer as equações de Maxwell e entender o que cada termo representa para conectar tudo isso e chegar na equação da continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das equações de Maxwell que vamos usar. A que vamos focar aqui é a Lei de Ampère-Maxwell, que relaciona o campo magnético B com a corrente elétrica j e a variação do campo elétrico E:
nabla times B = mu0 j + mu0 epsilon0 partial Epartial t
Essa equação basicamente diz que o campo magnético é gerado por correntes elétricas e pela mudança no campo elétrico ao longo do tempo.

Passo 3

O próximo passo é calcular a divergência dos dois lados da Lei de Ampère-Maxwell. A divergência é uma operação matemática que, de certa forma, mede “quanto” um campo está “saindo” de um ponto. Aplicando isso na equação:
nabla cdot (nabla times B) = nabla cdot (mu0 j + mu0 epsilon0 partial Epartial t)
Mas aqui entra uma propriedade importante: a divergência de um rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero. Ou seja:
nabla cdot (nabla times B) = 0
Então, o lado esquerdo da nossa equação se torna zero.

Passo 4

Agora, vamos simplificar o lado direito da equação. Podemos distribuir a divergência:
0 = mu0 (nabla cdot j) + mu0 epsilon0 partialpartial t (nabla cdot E)
Dividindo ambos os lados por mu0 para simplificar:
0 = nabla cdot j + epsilon0 partialpartial t (nabla cdot E)

Passo 5

Agora, vamos usar outra equação de Maxwell, a Lei de Gauss para o campo elétrico, que diz:
nabla cdot E = rhoepsilon0
Isso nos permite substituir nabla cdot E na nossa equação anterior:
0 = nabla cdot j + epsilon0 partialpartial t (rhoepsilon0)
Simplificando epsilon0:
0 = nabla cdot j + partial rhopartial t

Passo 6

Rearranjando os termos para isolar nabla cdot j:
nabla cdot j = -partial rhopartial t
Essa é exatamente a equação da continuidade que queríamos provar!

Resposta

As equações de Maxwell satisfazem o princípio de conservação da carga elétrica, conforme a equação da continuidade:
nabla cdot j = -partial rhopartial t

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