Para o seguinte PVI : y^prime=y x^2-y em x in[0 ; 0,5] com y1=1 e h=0,25, calcule o valor de y3 utilizando Runge-Kutta de 2^a ordem. (y exato =e^x^33 x)

Passo 1

Beleza, o nosso problema diz que
y'(x)=y(x),x^2 - y(x), xin[0,0.5], y(0)=1,
e a gente quer aproximar em usando Runge–Kutta de 2ª ordem com passo .
Conteúdo: método numérico para EDO (equação diferencial ordinária), em particular o RK2 (às vezes chamado de método de Heun ou trapezoidal explícito).
Para resolver, vamos usar a fórmula padrão de RK2:
1)
2)
3) ,
onde .

Passo 2

Primeiro passo prático: de k1 = f(x1,y1)=f(0,1)=1cdot0^2-1=-1 (que corresponde a y1^ast=y1+h,k1 = 1 + 0.25cdot(-1) = 0.75, x2 = x1 + h = 0.25 , k2 = f(x2,y1^ast) = f(0.25,0.75) =0.75,(0.25^2 -1)=0.75cdot(-0.9375)=-0.703125 ) para y2 = y1 + h2,l(k1 + k2r) =1 + 0.125,(-1 -0.703125) =1 -0.212890625 approx0.787109375 ( ).
  1. Calcular
  1. Fazer o “passo previsto”
  1. Calcular
  1. Atualizar

Passo 3

Agora de k1 = f(x2,y2) =0.787109375,(0.25^2 -1) =0.787109375cdot(-0.9375) approx -0.7373046875 ( y2^ast=y2 + h,k1 =0.787109375 +0.25cdot(-0.7373046875) approx0.602783203125, x3=0.5 , k2 = f(x3,y2^ast) =0.602783203125,(0.5^2 -1) =0.602783203125cdot(-0.75) approx -0.45208740234375 ) para y3 = y2 + h2,(k1 + k2) approx0.787109375 +0.125,(-0.7373046875 -0.45208740234375) approx0.6384353638 ( ):

Resposta

Aproximadamente
boxedy3 approx 0.6384

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