Um catalisador pode fazer com que uma reação ocorra por um mecanismo no qual a energia de ativação é mais baixa. Se o catalisador baixar a energia de ativação em 5 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}, quão mais rápida será a reação catalisada diante da não catalisada, a 25^{\circ} \mathrm{C}, admitindo que não há alteração no fator de freqüência?

Passo 1

O enunciado pede para comparar a velocidade (constante de taxa) da reação catalisada com a não catalisada a 25^\circ\mathrm{C}, sabendo que o catalisador reduz a energia de ativação em 5\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} e que o fator de frequência (pré-exponencial) não muda. Dados relevantes:
\Delta E_a = 5\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}},
T = 25^\circ\mathrm{C} = 298,15\\ \mathrm{K}.
Não há alteração do fator de frequência A.

Passo 2

Apresento a fórmula que relaciona a constante de velocidade com a energia de ativação: a equação de Arrhenius,
k = A \, e^{-E_a/(R T)}.
Aqui:
  • k é a constante de velocidade da reação;
  • A é o fator de frequência (pré-exponencial);
  • E_a é a energia de ativação (em \mathrm{J\,mol^{-1}});
  • R é a constante dos gases ideais;
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
    Como A não muda, a razão entre as constantes catalisada e não catalisada é
\frac{k_{\text{cat}}}{k_{\text{uncat}}}=\frac{A\,e^{-E_{a,\text{cat}}/(R T)}}{A\,e^{-E_{a,\text{uncat}}/(R T)}}=e^{-(E_{a,\text{cat}}-E_{a,\text{uncat}})/(R T)}.
Se o catalisador baixa E_a em 5\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}, então E_{a,\text{cat}}=E_{a,\text{uncat}}-5\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}. Logo
\frac{k_{\text{cat}}}{k_{\text{uncat}}}=e^{\Delta E_a/(R T)},
onde \Delta E_a=5\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} é a diminuição da barreira.

Passo 3

Converto a energia para unidades de \mathrm{J\,mol^{-1}} (porque R está em joules):
\Delta E_a = 5\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} = 5000\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.

Passo 4

Uso a constante dos gases R. Vou tomar
R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Calculo o produto R T:
R T = 8,314 \cdot 298,15.

Passo 5

Faço a multiplicação (mostrando passo a passo):
8,314 \cdot 298,15 \approx 2478,82\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Agora o expoente fica
\frac{\Delta E_a}{R T}=\frac{5000}{2478,82}\approx 2,016.

Passo 6

Calculo a razão das constantes usando a exponencial:
\frac{k_{\text{cat}}}{k_{\text{uncat}}}=e^{2,016}\approx 7,5.
Uma forma rápida de estimar: e^{2}\approx 7,389 e e^{0,016}\approx 1,016, então e^{2,016}\approx 7,389\times 1,016\approx 7,5.

Passo 7

Interpretação final: a reação catalisada terá aproximadamente 7,5 vezes a constante de velocidade da reação não catalisada à mesma temperatura, assumindo A constante. Força um pouco de ânimo: diminuir 5\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} já dá um salto grande na taxa — catalisadores são poderosos!

Resposta

\displaystyle \frac{k_{\text{cat}}}{k_{\text{uncat}}}\approx 7,5

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