Encontre a solução dos problemas abaixo:
y^prime prime+y=f(t) sendo y(0)=0, y^prime(0)=1 e f(t)=1 se 0 <= t<pi2 e f(t)=0 se pi2 <= t

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita a
O método é resolver a parte homogênea e particular em cada intervalo, aplicar as condições iniciais no primeiro trecho, e garantir continuidade de em para o segundo trecho.

Passo 2

Para 0<= t<tfracpi2 temos f(t)=1. A solução geral é soma da homogênea
yh=Acos t + Bsin t
com uma particular constante, digamos yp=1, pois yp''+yp=1. Logo
y(t)=Acos t + Bsin t +1
Usando y(0)=0 A+1=0, logo A=-1. A derivada é
y'(t)= -Asin t + Bcos t = sin t + Bcos t,
e y'(0)=1 B=1. Assim, para 0<= t<tfracpi2
y(t)=-cos t + sin t +1

Passo 3

Calculamos os valores em t0=tfracpi2 para usar na segunda fase:
yl(tfracpi2r) = -costfracpi2 + sintfracpi2 +1 = 0 +1 +1 = 2,
y'l(tfracpi2r) = sintfracpi2 + costfracpi2 = 1 + 0 = 1

Passo 4

Para t>=tfracpi2 temos f(t)=0, então a solução é puramente homogênea
y(t)=Ccos t + Dsin t
Garantindo continuidade em t0, impomos
Ccostfracpi2 + Dsintfracpi2 = D = 2,
y'(t) = -Csin t + Dcos t, y'l(tfracpi2r)=-C = 1 ;Longrightarrow; C=-1
Portanto, para t>=tfracpi2
y(t)=-cos t + 2sin t

Resposta

A solução completa é
y(t)= -cos t + sin t +1, & 0<= t<tfracpi2,[6pt] -cos t +2sin t, & t>=tfracpi2 ]

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