Qual das seguintes afirmações são verdadeiras? Se for verdadeiro, dê uma justificativa rápida (por exemplo algum teorema) se for falso, dê um contraexemplo
(a) A imagem de um intervalo aberto e limitado por uma função contínua é um intervalo aberto.
(b) A imagem de um intervalo aberto e limitado por uma função contínua é um conjunto aberto.
(c) A imagem de um conjunto aberto por uma função contínua é um conjunto aberto.
(d) A imagem de um intervalo fechado e limitado por uma função contínua é um intervalo não degenerado, fechado e limitado.
(e) A imagem de um intervalo fechado e limitado por uma função contínua é um conjunto fechado e limitado.
(f) A imagem de um conjunto fechado e limitado por uma função contínua é um conjunto fechado e limitado.
(g) A imagem de um conjunto fechado e limitado por uma função contínua é um intervalo fechado e limitado.
(h) A imagem de um conjunto fechado por uma função contínua é um conjunto fechado.
(a) A imagem de um intervalo aberto e limitado por uma função contínua é um intervalo aberto.
(b) A imagem de um intervalo aberto e limitado por uma função contínua é um conjunto aberto.
(c) A imagem de um conjunto aberto por uma função contínua é um conjunto aberto.
(d) A imagem de um intervalo fechado e limitado por uma função contínua é um intervalo não degenerado, fechado e limitado.
(e) A imagem de um intervalo fechado e limitado por uma função contínua é um conjunto fechado e limitado.
(f) A imagem de um conjunto fechado e limitado por uma função contínua é um conjunto fechado e limitado.
(g) A imagem de um conjunto fechado e limitado por uma função contínua é um intervalo fechado e limitado.
(h) A imagem de um conjunto fechado por uma função contínua é um conjunto fechado.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar, para cada item, se a imagem de certos tipos de conjuntos por funções contínuas tem propriedades como ser aberto, fechado, intervalar, limitado etc. Vamos usar teoria de continuidade, Teorema do Valor Intermediário, Teorema do Valor Extremo e propriedades de conjuntos compactos e conectados.
Passo 2
- Teorema do Valor Intermediário (TVI): a imagem de um intervalo por função contínua é conexo, logo um intervalo (talvez degenerado).
- Teorema do Valor Extremo (TVE): função contínua em intervalo fechado e limitado atinge máximo e mínimo, logo a imagem é limitada e, com o TVI, é intervalar e fechada.
- Imagem de conjunto compacto (fechado e limitado) por contínua é compacta, logo fechada e limitada.
- Funções contínuas não preservam em geral abertura de conjuntos (não são necessariamente aplicações abertas).
Passo 3
Itens (a), (b), (c): contraexemplo unificado usando
em
ou em
.
-
mostra que a imagem de um intervalo aberto e limitado não é intervalo ABERTO e nem conjunto aberto. -
mostra que imagem de conjunto aberto (por exemplo ) pode não ser aberta.
Passo 4
Itens (d)–(h):
- (d) “intervalo não degenerado”: falsa, pois se
for constante em a imagem é ponto (intervalo degenerado). - (e) e (f): verdadeiras pela propriedade de compacidade (TVE e imagem de compacto é compacto).
- (g): falsa, pois domínio fechado e limitado mas não conectado pode ter imagem desconexa (por ex.
, , imagem não é intervalo). - (h): falsa, pois domínio fechado mas não limitado (ou mesmo fechado em
) pode ter imagem não fechada (por ex. em , imagem não é fechada).
Resposta
(a) Falso. Contraexemplo:
em
dá imagem
, não intervalo aberto.
(b) Falso. Mesmo contraexemplo de (a) mostra que a imagem não é aberta.
(c) Falso. em
manda conjunto aberto
em
, não aberto.
(d) Falso. Se for constante em
, imagem é ponto (intervalo degenerado).
(e) Verdadeiro. Teorema do Valor Extremo garante extremos e, pelo TVI, é conjunto fechado e limitado.
(f) Verdadeiro. Imagem de compacto é compacto, logo fechada e limitada.
(g) Falso. Domínio fechado e limitado mas não conectado, ex. ,
, imagem
não é intervalo.
(h) Falso. Ex.: em
contínua, imagem
não é fechada.
(b) Falso. Mesmo contraexemplo de (a) mostra que a imagem não é aberta.
(c) Falso.
(d) Falso. Se
(e) Verdadeiro. Teorema do Valor Extremo garante extremos e, pelo TVI, é conjunto fechado e limitado.
(f) Verdadeiro. Imagem de compacto é compacto, logo fechada e limitada.
(g) Falso. Domínio fechado e limitado mas não conectado, ex.
(h) Falso. Ex.: