Sejam f: X \rightarrow \mathbb{R} e c \in X^{\prime}. Suponha que existem constantes K e L tais |f(x)-L| \leq K|x-c| para todo x \in X. Mostre que \lim _{x \rightarrow c} f(x)=L.
8. Sejam f: X \rightarrow \mathbb{R}, g: Y \rightarrow \mathbb{R} com f(X) \subset Y, a \in X^{\prime} e b \in Y^{\prime} \cap Y. Se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=b e \lim _{y \rightarrow b} g(y)=c, prove que \lim _{x \rightarrow a} g(f(x))=c.

Passo 1

O enunciado tem duas partes de teoria de limites. Na primeira, temos f\colon X\to\mathbb{R} e um ponto c\in X' (ponto de acumulação), e sabemos que existe constante K e um valor L tais que
|f(x)-L|\le K\,|x-c| \quad\text{para todo }x\in X.
Precisamos mostrar que \lim_{x\to c}f(x)=L.
Na segunda parte, há duas funções f\colon X\to\mathbb{R} e g\colon Y\to\mathbb{R} com f(X)\subset Y, um ponto de acumulação a\in X' e b\in Y'\cap Y. Sabemos que
\lim_{x\to a}f(x)=b \quad\text{e}\quad \lim_{y\to b}g(y)=c,
e queremos provar que
\lim_{x\to a}g\bigl(f(x)\bigr)=c.

Passo 2

Prova da primeira parte ( \lim_{x\to c}f(x)=L). Seja um \epsilon>0. Como |f(x)-L|\le K\,|x-c|, basta fazer
K\,|x-c|<\epsilon \quad\Longleftarrow\quad |x-c|<\frac{\epsilon}{K}.
Logo, escolhendo
\delta = \frac{\epsilon}{K},
temos que, sempre que 0<|x-c|<\delta, então
|f(x)-L|\le K\,|x-c|<K\,\delta = \epsilon.
Isso completa a prova de que \lim_{x\to c}f(x)=L.

Passo 3

Prova da segunda parte ( \lim_{x\to a}g(f(x))=c). Seja um \epsilon>0. Pela hipótese \lim_{y\to b}g(y)=c, existe \eta>0 tal que
0<|y-b|<\eta \quad\Longrightarrow\quad |g(y)-c|<\epsilon.
Como \lim_{x\to a}f(x)=b, existe \delta>0 tal que
0<|x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-b|<\eta.
Então, sempre que 0<|x-a|<\delta, temos |f(x)-b|<\eta e daí |g(f(x)) - c|<\epsilon. Isso mostra que
\lim_{x\to a}g(f(x))=c.

Resposta

  1. \displaystyle \lim_{x\to c}f(x)=L.
  2. \displaystyle \lim_{x\to a}g\bigl(f(x)\bigr)=c.

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