Sejam
e
. Suponha que existem constantes
e
tais
para todo
. Mostre que
.
8. Sejam
com
e
. Se
e
, prove que
.
8. Sejam
Passo 1
O enunciado tem duas partes de teoria de limites. Na primeira, temos
e um ponto
(ponto de acumulação), e sabemos que existe constante
e um valor
tais que
Precisamos mostrar que
.
Na segunda parte, há duas funções e
com
, um ponto de acumulação
e
. Sabemos que
Na segunda parte, há duas funções
e queremos provar que
Passo 2
Prova da primeira parte (
). Seja um
. Como
, basta fazer
Logo, escolhendo
temos que, sempre que
, então
Isso completa a prova de que
.
Passo 3
Prova da segunda parte (
). Seja um
. Pela hipótese
, existe
tal que
Como
, existe
tal que
Então, sempre que
, temos
e daí
. Isso mostra que
.