Seja
uma função.
(a) Suponha que
é contínua. Mostre que se
é um conjunto aberto, então a imagem inversa de
pela
,
é um conjunto aberto.
(b) Suponha que para todo
aberto, a inversa de
pela
também é aberto. Mostre que
é contínua.
(c) Suponha que
é contínua. Mostre que se
é fechado, então a imagem inversa de
pela
também é fechado.
(d) Suponha que para todo
fechado, a inversa de
pela
também é fechado. Mostre que
é contínua.
Dica: Para os itens (c) e (d) prove que
e use os itens (a) e (b).
(a) Suponha que
(b) Suponha que para todo
(c) Suponha que
(d) Suponha que para todo
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar duas equivalências clássicas de continuidade:
. Se
é contínua então
é aberto sempre que
é aberto.
. Se toda inversa de aberto é aberta, então
é contínua.
. Se
é contínua então
é fechado sempre que
é fechado.
. Se toda inversa de fechado é fechado, então
é contínua.
Vamos usar definição -
de continuidade e a relação entre complementos e preimagens.
Vamos usar definição
Passo 2
Prova de (a): suponha
contínua e seja
aberto. Tomemos
. Então
e, como
é aberto, existe
tal que
Pela continuidade de
em
, existe
tal que
Logo, se
então
, ou seja,
. Assim
o que mostra que todo ponto de
tem um entorno contido em
, logo
é aberto.
Passo 3
Prova de (b): suponha que para todo aberto
a preimagem
é aberta. Dado
e
, considere o intervalo aberto
Então
é aberto e, por hipótese,
é aberto. Como
, temos
. Pelo fato de
ser aberto, existe
tal que
Isto significa que, para todo
com
, vale
, ou seja
. Essa é exatamente a condição
-
de continuidade de
em
. Como
era arbitrário,
é contínua em todo
.
Passo 4
Prova de (c): suponha
contínua e seja
fechado. Note que
é aberto, logo por (a)
é aberto. Mas é fácil ver que
De fato,
. Se
então
, logo
, isto é
.
. Se
então
, ou seja
, daí
.
Como é aberto, seu complementar
é fechado.
Como
Passo 5
Prova de (d): suponha que para todo fechado
a preimagem
é fechado. Seja
aberto. Então
é fechado e, por hipótese,
é fechado. Usando de novo a identidade
concluímos que
é fechado, logo
é aberto. Pelo item (b), isso implica que
é contínua.
Resposta
Os quatro itens estão demonstrados, estabelecendo a equivalência entre continuidade de
e a propriedade de que preimagens de abertos (resp. fechados) são abertos (resp. fechados).