Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função.
(a) Suponha que f é contínua. Mostre que se A \subseteq \mathbb{R} é um conjunto aberto, então a imagem inversa de A pela f,
f^{-1}(A)=\{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \in A\}
é um conjunto aberto.
(b) Suponha que para todo A \subseteq \mathbb{R} aberto, a inversa de A pela f também é aberto. Mostre que f é contínua.
(c) Suponha que f é contínua. Mostre que se F \subseteq \mathbb{R} é fechado, então a imagem inversa de F pela f também é fechado.
(d) Suponha que para todo F \subseteq \mathbb{R} fechado, a inversa de F pela f também é fechado. Mostre que f é contínua.
Dica: Para os itens (c) e (d) prove que f^{-1}(\mathbb{R}-F)=\mathbb{R}-f^{-1}(F) e use os itens (a) e (b).

Passo 1

O enunciado define f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} e pede para mostrar duas equivalências clássicas de continuidade:
1. Se f é contínua então f^{-1}(A) é aberto sempre que A é aberto.
2. Se toda inversa de aberto é aberta, então f é contínua.
3. Se f é contínua então f^{-1}(F) é fechado sempre que F é fechado.
4. Se toda inversa de fechado é fechado, então f é contínua.
Vamos usar definição \epsilon- \delta de continuidade e a relação entre complementos e preimagens.

Passo 2

Prova de (a): suponha f contínua e seja A\subseteq\mathbb{R} aberto. Tomemos x\in f^{-1}(A). Então f(x)\in A e, como A é aberto, existe \varepsilon>0 tal que
(f(x)-\varepsilon,\;f(x)+\varepsilon)\subseteq A.
Pela continuidade de f em x, existe \delta>0 tal que
|t - x|<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(t)-f(x)|<\varepsilon.
Logo, se |t-x|<\delta então f(t)\in(f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon)\subseteq A, ou seja, t\in f^{-1}(A). Assim
(x-\delta,x+\delta)\subseteq f^{-1}(A),
o que mostra que todo ponto de f^{-1}(A) tem um entorno contido em f^{-1}(A), logo f^{-1}(A) é aberto.

Passo 3

Prova de (b): suponha que para todo aberto A\subseteq\mathbb{R} a preimagem f^{-1}(A) é aberta. Dado x\in\mathbb{R} e \varepsilon>0, considere o intervalo aberto
A=(f(x)-\varepsilon,\;f(x)+\varepsilon).
Então A é aberto e, por hipótese, f^{-1}(A) é aberto. Como f(x)\in A, temos x\in f^{-1}(A). Pelo fato de f^{-1}(A) ser aberto, existe \delta>0 tal que
(x-\delta,x+\delta)\subseteq f^{-1}(A).
Isto significa que, para todo t com |t-x|<\delta, vale f(t)\in A, ou seja |f(t)-f(x)|<\varepsilon. Essa é exatamente a condição \epsilon- \delta de continuidade de f em x. Como x era arbitrário, f é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Prova de (c): suponha f contínua e seja F\subseteq\mathbb{R} fechado. Note que \mathbb{R}\setminus F é aberto, logo por (a)
f^{-1}\bigl(\mathbb{R}\setminus F\bigr)
é aberto. Mas é fácil ver que
f^{-1}\bigl(\mathbb{R}\setminus F\bigr) =\mathbb{R}\setminus f^{-1}(F).
De fato,
1. Se x\in f^{-1}(\mathbb{R}\setminus F) então f(x)\notin F, logo x\notin f^{-1}(F), isto é x\in \mathbb{R}\setminus f^{-1}(F).
2. Se x\in \mathbb{R}\setminus f^{-1}(F) então x\notin f^{-1}(F), ou seja f(x)\notin F, daí x\in f^{-1}(\mathbb{R}\setminus F).
Como \mathbb{R}\setminus f^{-1}(F) é aberto, seu complementar f^{-1}(F) é fechado.

Passo 5

Prova de (d): suponha que para todo fechado F\subseteq\mathbb{R} a preimagem f^{-1}(F) é fechado. Seja A\subseteq\mathbb{R} aberto. Então \mathbb{R}\setminus A é fechado e, por hipótese,
f^{-1}\bigl(\mathbb{R}\setminus A\bigr)
é fechado. Usando de novo a identidade
f^{-1}\bigl(\mathbb{R}\setminus A\bigr) =\mathbb{R}\setminus f^{-1}(A),
concluímos que \mathbb{R}\setminus f^{-1}(A) é fechado, logo f^{-1}(A) é aberto. Pelo item (b), isso implica que f é contínua.

Resposta

Os quatro itens estão demonstrados, estabelecendo a equivalência entre continuidade de f e a propriedade de que preimagens de abertos (resp. fechados) são abertos (resp. fechados).

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