Nas seguintes alíneas, a trajetória de um ponto no plano é descrita pelo vetor de posição alpha(t). Determine, em cada caso, a velocidade e a aceleração em cada instante t.
(a) alpha(t)=(1raiz1+t^2, log (11+t^2)), t in R;
(b) alpha(t)=(e^raizt^3+t, 2^-t), t in R^+;
© alpha(t)=(sen t, tg t sen t, tg t), t in] 0, pi2[.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, em cada alínea, a velocidade alpha'(t) e a aceleração alpha''(t) de uma curva no plano (ou no espaço), isto é, tomar a derivada primeira e segunda de cada componente do vetor de posição. Vamos usar as regras básicas de derivação (produto, quociente, cadeia).

Passo 2

Para (a), definimos
alpha(t)=l((1+t^2)^-1/2,,-ln(1+t^2)r)
Derivando componente a componente, obtemos:
x(t)=(1+t^2)^-1/2, x'(t)=-t(1+t^2)^-3/2,
y(t)=-ln(1+t^2), y'(t)=-2t1+t^2
Logo
alpha'(t)=l(-t(1+t^2)^3/2,,-2t1+t^2r)

Passo 3

Ainda em (a), derivamos novamente para achar a aceleração. Para x'(t)=-t(1+t^2)^-3/2 usamos produto e cadeia e chegamos a
x''(t)=2t^2-1(1+t^2)^5/2
Para y'(t)=-2t/(1+t^2) usamos a regra do quociente e obtemos
y''(t)=2(t^2-1)(1+t^2)^2
Assim
alpha''(t)=l(2t^2-1(1+t^2)^5/2,,2(t^2-1)(1+t^2)^2r)

Passo 4

Para (b), temos
alpha(t)=l(e^raizt^3+t,,2^-tr)
Derivando:
x(t)=e^raizt^3+t, x'(t)=e^raizt^3+tcdot3t^2+12raizt^3+t,
y(t)=2^-t, y'(t)=-ln(2),2^-t
Logo
alpha'(t)=l(e^raizt^3+t3t^2+12raizt^3+t,,-ln(2),2^-tr)

Passo 5

Ainda em (b), para x'(t) fazemos mais uma derivada por produto e cadeia. O resultado pode ser escrito de forma compacta como
x''(t)=e^raizt^3+tgl[12t(t^3+t)-(3t^2+1)^24(t^3+t)^3/2+l(3t^2+12raizt^3+tr)^2gr]
Para y'(t)=-ln(2)2^-t derivando de novo basta multiplicar por -ln(2):
y''(t)=(ln(2))^2,2^-t
Assim
alpha''(t)=l(e^raizt^3+tl[cdotsr],,(ln(2))^2,2^-tr),
onde [cdots] é o colchete acima.

Passo 6

Para ©, em coordenadas tridimensionais,
alpha(t)=(sin t,,tan t,sin t,,tan t), tinl]0,tfracpi2r[
Derivando:
x'(t)=cos t,
y'(t)=sin tsec^2 t+cos ttan t,
z'(t)=sec^2 t
Logo
alpha'(t)=(cos t,,sin tsec^2 t+cos ttan t,,sec^2 t)

Passo 7

Finalmente, em © a aceleração é
x''(t)=-sin t,
y''(t)=2cos tsec^2 t+2sin tsec^2 ttan t-sin ttan t,
z''(t)=2sec^2 ttan t
Portanto
alpha''(t)=(-sin t,,2cos tsec^2 t+2sin tsec^2 ttan t-sin ttan t,,2sec^2 ttan t)

Resposta

(a) alpha'(t)=l(-tfract(1+t^2)^3/2,,-tfrac2t1+t^2r),alpha''(t)=l(tfrac2t^2-1(1+t^2)^5/2,,tfrac2(t^2-1)(1+t^2)^2r)
(b) alpha'(t)=l(e^raizt^3+ttfrac3t^2+12raizt^3+t,,-ln(2)2^-tr),alpha''(t)=l(e^raizt^3+t[tfrac12t(t^3+t)-(3t^2+1)^24(t^3+t)^3/2+l(tfrac3t^2+12raizt^3+tr)^2],,(ln2)^2 2^-tr)
© alpha'(t)=(cos t,,sin tsec^2 t+cos ttan t,,sec^2 t),alpha''(t)=(-sin t,,2cos tsec^2 t+2sin tsec^2 ttan t-sin ttan t,,2sec^2 ttan t)

Exercícios relacionados