Nas seguintes alíneas, a trajetória de um ponto no plano é descrita pelo vetor de posição
. Determine, em cada caso, a velocidade e a aceleração em cada instante
.
(a)
;
(b)
;
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
O enunciado pede para calcular, em cada alínea, a velocidade
e a aceleração
de uma curva no plano (ou no espaço), isto é, tomar a derivada primeira e segunda de cada componente do vetor de posição. Vamos usar as regras básicas de derivação (produto, quociente, cadeia).
Passo 2
Para (a), definimos
Derivando componente a componente, obtemos:
Logo
Passo 3
Ainda em (a), derivamos novamente para achar a aceleração. Para
usamos produto e cadeia e chegamos a
Para
usamos a regra do quociente e obtemos
Assim
Passo 4
Para (b), temos
Derivando:
Logo
Passo 5
Ainda em (b), para
fazemos mais uma derivada por produto e cadeia. O resultado pode ser escrito de forma compacta como
Para
derivando de novo basta multiplicar por
:
Assim
onde
é o colchete acima.
Passo 6
Para ©, em coordenadas tridimensionais,
Derivando:
Logo
Passo 7
Finalmente, em © a aceleração é
Portanto
Resposta
(a)
(b)
©