Seja c: I R^3 uma curva parametrizada por comprimento de arco, tal que a curvatura de c, kappac>0 e c1: I R^3 tal que c1(t)=c^prime(t). Mostre que:
(a) c1^prime prime(t)=-(kappac(t))^2 Tc(t)+kappac^prime(t) Nc(t)+kappac(t) tauc(t) Bc(t).
(b) kappac1(t)=raiz(tauc(t)kc(t))^2+1.

Passo 1

A curva c:Ito R^3 está parametrizada por comprimento de arco (então |c'(t)|=1), tem curvatura kappac(t)>0, versor tangente Tc(t)=c'(t), versor normal Nc(t) e versor binormal Bc(t). Definimos c1(t)=c'(t)=Tc(t). Vamos usar as fórmulas de Frenet–Serret:

Passo 2

As fórmulas de Frenet–Serret são
Tc'(t)=kappac(t),Nc(t), Nc'(t)=-kappac(t),Tc(t)+tauc(t),Bc(t), Bc'(t)=-tauc(t),Nc(t)

Passo 3

Derivando c1(t)=Tc(t) obtemos
c1'(t)=Tc'(t)=kappac(t),Nc(t), e então
$$c_1’’(t)=\bigl(\kappa_c(t),N_c(t)\bigr)’=\kappa_c’(t),N_c(t)+\kappa_c(t),N_c’(t).
$$

Passo 4

Substituindo Nc'(t) em c1''(t)
$$c_1’’(t)=\kappa_c’(t),N_c(t)+\kappa_c(t)\bigl(-\kappa_c(t),T_c(t)+\tau_c(t),B_c(t)\bigr)
=-\bigl(\kappa_c(t)\bigr)^2T_c(t)+\kappa_c’(t)N_c(t)+\kappa_c(t)\tau_c(t)B_c(t),$$ o que prova (a).

Passo 5

Para (b), usamos que a curvatura de uma curva r(t) qualquer é
$$\kappa(t)=\frac{|r’(t)\times r’’(t)|}{|r’(t)|^3}.
$$

Passo 6

No nosso caso r=c1, então c1'(t)=kappacNc e c1''(t)= -kappac^2Tc+kappac' Nc+kappactauc Bc. Calculamos o produto vetorial:
$$c_1’(t)\times c_1’’(t)=\kappa_cN_c\times\bigl(-\kappa_c^2T_c+\kappa_c’ N_c+\kappa_c\tau_cB_c\bigr)=\kappa_c3B_c+\kappa_c2\tau_c,T_c.
$$

Passo 7

O módulo é raiz(kappac^3)^2+(kappac^2tauc)^2=kappac^2raizkappac^2+tauc^2, e |c1'(t)|=kappac. Logo
$$\kappa_{c_1}(t)=\frac{\kappa_c2\sqrt{\kappa_c2+\tau_c2}}{\kappa_c3}=\sqrt{1+\Bigl(\tfrac{\tau_c(t)}{\kappa_c(t)}\Bigr)^2},
$$ que é o que queríamos.

Resposta

(a) c1''(t)=-l(kappac(t)r)^2Tc(t)+kappac'(t)Nc(t)+kappac(t)tauc(t)Bc(t); (b) kappac1(t)=raiz1+l(tfractauc(t)kappac(t)r)^2.

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