Seja
uma curva parametrizada por comprimento de arco, tal que a curvatura de
e
tal que
. Mostre que:
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
A curva
está parametrizada por comprimento de arco (então
), tem curvatura
, versor tangente
, versor normal
e versor binormal
. Definimos
. Vamos usar as fórmulas de Frenet–Serret:
Passo 2
As fórmulas de Frenet–Serret são
Passo 3
Derivando
obtemos
$$c_1’’(t)=\bigl(\kappa_c(t),N_c(t)\bigr)’=\kappa_c’(t),N_c(t)+\kappa_c(t),N_c’(t).
$$
Passo 4
Substituindo
em
dá
$$c_1’’(t)=\kappa_c’(t),N_c(t)+\kappa_c(t)\bigl(-\kappa_c(t),T_c(t)+\tau_c(t),B_c(t)\bigr)
=-\bigl(\kappa_c(t)\bigr)^2T_c(t)+\kappa_c’(t)N_c(t)+\kappa_c(t)\tau_c(t)B_c(t),$$ o que prova (a).
Passo 5
Para (b), usamos que a curvatura de uma curva
qualquer é
$$\kappa(t)=\frac{|r’(t)\times r’’(t)|}{|r’(t)|^3}.
$$
Passo 6
No nosso caso
, então
e
. Calculamos o produto vetorial:
$$c_1’(t)\times c_1’’(t)=\kappa_cN_c\times\bigl(-\kappa_c^2T_c+\kappa_c’ N_c+\kappa_c\tau_cB_c\bigr)=\kappa_c3B_c+\kappa_c2\tau_c,T_c.
$$
Passo 7
O módulo é
, e
. Logo
$$\kappa_{c_1}(t)=\frac{\kappa_c2\sqrt{\kappa_c2+\tau_c2}}{\kappa_c3}=\sqrt{1+\Bigl(\tfrac{\tau_c(t)}{\kappa_c(t)}\Bigr)^2},
$$ que é o que queríamos.
Resposta
(a)
; (b)
.