Qual das seguintes alternativas descreve corretamente o vetor aceleração centrípeta para uma partícula que se move em MCU?
(a) constante e sempre perpendicular ao vetor velocidade da partícula
(b) constante e sempre paralelo ao vetor velocidade da partícula
(c) de módulo constante e sempre perpendicular ao vetor velocidade da partícula
(a) constante e sempre perpendicular ao vetor velocidade da partícula
(b) constante e sempre paralelo ao vetor velocidade da partícula
(c) de módulo constante e sempre perpendicular ao vetor velocidade da partícula
Passo 1
O enunciado pergunta qual alternativa descreve corretamente o vetor aceleração centrípeta para uma partícula que se move em MCU. As alternativas são:
(a) constante e sempre perpendicular ao vetor velocidade da partícula
(b) constante e sempre paralelo ao vetor velocidade da partícula
(c) de módulo constante e sempre perpendicular ao vetor velocidade da partícula
(a) constante e sempre perpendicular ao vetor velocidade da partícula
(b) constante e sempre paralelo ao vetor velocidade da partícula
(c) de módulo constante e sempre perpendicular ao vetor velocidade da partícula
Informações relevantes dadas (implícitas em MCU):
- A partícula descreve uma trajetória circular de raio
,. - O movimento é uniforme: a velocidade escalar (módulo da velocidade) é constante.
- Queremos caracterizar o vetor aceleração centrípeta (direção, módulo e se o vetor é constante ou não).
Passo 2
Escolhemos modelar a posição por coordenadas paramétricas no plano — é um método direto e mostra claramente a dependência vetorial do tempo. Definimos:
onde:
-
é o raio da trajetória (constante), -
é a velocidade angular (constante no MCU), -
são vetores unitários nos eixos .
Aquidá a posição da partícula no instante .
Passo 3
Calculamos a velocidade como derivada da posição:
. Derivando termo a termo (lembre:
e
):
Calculemos o módulo de
:
Portanto
constante — confirma que o módulo da velocidade é constante no MCU.
Passo 4
Agora a aceleração é
. Derivando
:
Reescrevendo:
Interpretação:
é proporcional a
, ou seja, aponta para o centro da circunferência (sentido centrípeto).
Passo 5
Calculamos o módulo de
:
que é constante (porque
e
são constantes). Também podemos escrever em função de
usando
:
Assim a fórmula clássica
aparece.
Passo 6
Mostramos agora que
é sempre perpendicular a
. Calculamos o produto escalar:
Mas
Logo
, o que significa que
é perpendicular a
em todo instante.
Passo 7
Concluímos as propriedades:
- O módulo de
é constante ( ). - Porém o vetor
não é constante como vetor, porque sua direção muda com o tempo (ele aponta sempre para o centro, que é uma direção diferente em cada ponto da circunferência). -
é sempre perpendicular a .
Portanto a descrição correta é: “de módulo constante e sempre perpendicular ao vetor velocidade da partícula”.
Resposta
(c)