Qual das seguintes alternativas descreve corretamente o vetor aceleração centrípeta para uma partícula que se move em MCU?
(a) constante e sempre perpendicular ao vetor velocidade da partícula
(b) constante e sempre paralelo ao vetor velocidade da partícula
(c) de módulo constante e sempre perpendicular ao vetor velocidade da partícula

Passo 1

O enunciado pergunta qual alternativa descreve corretamente o vetor aceleração centrípeta para uma partícula que se move em MCU. As alternativas são:
(a) constante e sempre perpendicular ao vetor velocidade da partícula
(b) constante e sempre paralelo ao vetor velocidade da partícula
(c) de módulo constante e sempre perpendicular ao vetor velocidade da partícula
Informações relevantes dadas (implícitas em MCU):
  • A partícula descreve uma trajetória circular de raio \,r,.
  • O movimento é uniforme: a velocidade escalar (módulo da velocidade) é constante.
  • Queremos caracterizar o vetor aceleração centrípeta (direção, módulo e se o vetor é constante ou não).

Passo 2

Escolhemos modelar a posição por coordenadas paramétricas no plano — é um método direto e mostra claramente a dependência vetorial do tempo. Definimos:
\vec r(t)=r\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}+r\sin(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}},
onde:
  • \,r é o raio da trajetória (constante),
  • \omega é a velocidade angular (constante no MCU),
  • \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}} são vetores unitários nos eixos x,y.
    Aqui \vec r(t) dá a posição da partícula no instante t.

Passo 3

Calculamos a velocidade como derivada da posição: \vec v(t)=\dot{\vec r}(t). Derivando termo a termo (lembre: \frac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t) e \frac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t)):
\vec v(t) = -r\omega\sin(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}} + r\omega\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}}.
Calculemos o módulo de \vec v(t):
|\vec v(t)|^2 = (r\omega)^2\sin^2(\omega t) + (r\omega)^2\cos^2(\omega t) = (r\omega)^2(\sin^2+\cos^2) = (r\omega)^2.
Portanto
|\vec v(t)| = r\omega =: v,
constante — confirma que o módulo da velocidade é constante no MCU.

Passo 4

Agora a aceleração é \vec a(t)=\dot{\vec v}(t). Derivando \vec v(t):
\vec a(t) = -r\omega^2\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}} - r\omega^2\sin(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}}.
Reescrevendo:
\vec a(t) = -\omega^2\big(r\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}+r\sin(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}}\big) = -\omega^2\vec r(t).
Interpretação: \vec a(t) é proporcional a -\vec r(t), ou seja, aponta para o centro da circunferência (sentido centrípeto).

Passo 5

Calculamos o módulo de \vec a(t):
|\vec a(t)| = \omega^2 |\vec r(t)| = \omega^2 r,
que é constante (porque \omega e r são constantes). Também podemos escrever em função de v usando v=r\omega:
|\vec a| = \omega^2 r = \frac{(r\omega)^2}{r} = \frac{v^2}{r}.
Assim a fórmula clássica a_c=\dfrac{v^2}{r} aparece.

Passo 6

Mostramos agora que \vec a(t) é sempre perpendicular a \vec v(t). Calculamos o produto escalar:
\vec a(t)\cdot\vec v(t) = (-\omega^2\vec r(t))\cdot\vec v(t) = -\omega^2\big(\vec r(t)\cdot\vec v(t)\big).
Mas
\vec r(t)\cdot\vec v(t) = r\cos(\omega t)\big(-r\omega\sin(\omega t)\big) + r\sin(\omega t)\big(r\omega\cos(\omega t)\big)=0.
Logo \vec a(t)\cdot\vec v(t)=0, o que significa que \vec a(t) é perpendicular a \vec v(t) em todo instante.

Passo 7

Concluímos as propriedades:
  • O módulo de \vec a(t) é constante ( |\vec a|=\omega^2 r=\dfrac{v^2}{r}).
  • Porém o vetor \vec a(t) não é constante como vetor, porque sua direção muda com o tempo (ele aponta sempre para o centro, que é uma direção diferente em cada ponto da circunferência).
  • \vec a(t) é sempre perpendicular a \vec v(t).
Portanto a descrição correta é: “de módulo constante e sempre perpendicular ao vetor velocidade da partícula”.

Resposta

(c)

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