Nos seguintes casos, calcule as derivadas parciais indicadas:
f(x, y)=1-x-y, calcule f_{x} e f_{y}.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido\n
Temos a função f(x,y)=1-x-y. O que o enunciado pede é: calcular as derivadas parciais f_{x} (derivada parcial em relação a x) e f_{y} (derivada parcial em relação a y).\n
Informações relevantes dadas:\n
  • A função é f(x,y)=1-x-y.\n
  • As variáveis independentes são x e y.\n
  • Devemos encontrar f_{x} e f_{y} como funções de x e y (ou constantes, se for o caso).

Passo 2

O que é derivada parcial (definição) e como interpretá-la\n
A derivada parcial de f em relação a x mede a taxa de variação de f quando só mudamos x e mantemos y fixo. A definição por limite é\n f_{x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.\n
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é\n f_{y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.\n
Explicando as partes desta fórmula\n
  • h é um pequeno incremento aplicado apenas à variável que estamos derivando.\n
  • Em f_{x} mantemos y fixo dentro das avaliações de f.\n
  • Em f_{y} mantemos x fixo dentro das avaliações de f.\n
    Também usamos regras básicas de derivação (linhares): a derivada da soma é soma das derivadas, a derivada de uma constante é 0, e a derivada de -x em relação a x é -1.

Passo 3

Cálculo de f_{x} aplicando a definição e regras básicas\n
Começamos avaliando a expressão que aparece no numerador do limite para f_{x}\n f(x+h,y)-f(x,y).\n
Substituindo f\n f(x+h,y)=1-(x+h)-y=1-x-h-y\n f(x,y)=1-x-y.\n
Fazendo a diferença\n f(x+h,y)-f(x,y)=(1-x-h-y)-(1-x-y)=-h.\n
Agora dividimos por h e tomamos o limite\n \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{-h}{h}=-1.\n
Como esse quociente já é constante e independente de h, o limite quando h\to 0 é -1. Portanto\n f_{x}(x,y)=-1.\n
Interpretação rápida: na expressão f(x,y)=1-x-y o termo que depende de x é -x; derivando -x em relação a x -1. Os outros termos ( 1 e -y) são constantes em relação a x, então derivam para 0.

Passo 4

Cálculo de f_{y} de forma análoga\n
Usamos a definição de f_{y} e mantemos x fixo. Avaliamos\n f(x,y+h)=1-x-(y+h)=1-x-y-h\n f(x,y)=1-x-y.\n
Fazendo a diferença\n f(x,y+h)-f(x,y)=(1-x-y-h)-(1-x-y)=-h.\n
Dividindo por h e tomando o limite\n \frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}=\frac{-h}{h}=-1,\n
logo\n f_{y}(x,y)=-1.\n
Interpretação: o único termo que depende de y é -y; derivando em relação a y obtemos -1. Os demais termos são constantes quando derivamos em relação a y.

Passo 5

Resumo intuitivo e checagem rápida\n
A função f(x,y)=1-x-y é um plano inclinado. Em qualquer ponto a inclinação na direção do eixo x é -1 e a inclinação na direção do eixo y também é -1. As derivadas parciais são constantes e iguais a -1, o que bate com os cálculos por limite ou pelas regras de derivação de termos lineares.

Resposta

f_{x}(x,y)=-1\n
f_{y}(x,y)=-1

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