Nos seguintes casos, calcule as derivadas parciais indicadas:
, calcule
e
.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido\n
Temos a função . O que o enunciado pede é: calcular as derivadas parciais
(derivada parcial em relação a
) e
(derivada parcial em relação a
).\n
Informações relevantes dadas:\n
Temos a função
Informações relevantes dadas:\n
- A função é
.\n - As variáveis independentes são
e .\n - Devemos encontrar
e como funções de e (ou constantes, se for o caso).
Passo 2
O que é derivada parcial (definição) e como interpretá-la\n
A derivada parcial de
em relação a
mede a taxa de variação de
quando só mudamos
e mantemos
fixo. A definição por limite é\n
\n
Analogamente, a derivada parcial em relação a
é\n
\n
Explicando as partes desta fórmula\n
-
é um pequeno incremento aplicado apenas à variável que estamos derivando.\n - Em
mantemos fixo dentro das avaliações de .\n - Em
mantemos fixo dentro das avaliações de .\n
Também usamos regras básicas de derivação (linhares): a derivada da soma é soma das derivadas, a derivada de uma constante é, e a derivada de em relação a é .
Passo 3
Cálculo de
aplicando a definição e regras básicas\n
Começamos avaliando a expressão que aparece no numerador do limite para \n
\n
Começamos avaliando a expressão que aparece no numerador do limite para
Substituindo
\n
\n
\n
Fazendo a diferença\n
\n
Agora dividimos por
e tomamos o limite\n
\n
Como esse quociente já é constante e independente de
, o limite quando
é
. Portanto\n
\n
Interpretação rápida: na expressão
o termo que depende de
é
; derivando
em relação a
dá
. Os outros termos (
e
) são constantes em relação a
, então derivam para
.
Passo 4
Cálculo de
de forma análoga\n
Usamos a definição de e mantemos
fixo. Avaliamos\n
\n
\n
Usamos a definição de
Fazendo a diferença\n
\n
Dividindo por
e tomando o limite\n
\n
logo\n
\n
Interpretação: o único termo que depende de
é
; derivando em relação a
obtemos
. Os demais termos são constantes quando derivamos em relação a
.
Passo 5
Resumo intuitivo e checagem rápida\n
A função é um plano inclinado. Em qualquer ponto a inclinação na direção do eixo
é
e a inclinação na direção do eixo
também é
. As derivadas parciais são constantes e iguais a
, o que bate com os cálculos por limite ou pelas regras de derivação de termos lineares.
A função