Nos seguintes casos, calcule as derivadas parciais indicadas:
f(x, y)=\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}, calcule f_{x}.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)^{2} e pede para calcular a derivada parcial de f em relação a x, ou seja f_{x}.
Informações relevantes: a função está em duas variáveis x e y; ao calcular f_{x} tratamos y como constante.

Passo 2

O que significa calcular a derivada parcial \displaystyle f_{x}(x,y)?
Definição (intuição): é a taxa de variação de f quando variamos apenas x, mantendo y fixo. Formalmente,
\displaystyle f_{x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Na prática, para funções dadas por fórmulas, usamos regras de derivação (regra da cadeia, produto, soma, etc.), tratando y como constante.

Passo 3

Escolha do método: aqui é simples e rápido usar a regra da cadeia porque f é uma função composta: \displaystyle f=(u)^{2} com u(x,y)=x^{2}-y^{2}. Vou aplicar a regra da cadeia; depois eu mostro uma verificação expandindo a expressão.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia. Defina
u(x,y)=x^{2}-y^{2}.
Então \displaystyle f(x,y)=u(x,y)^{2}. Pela regra da cadeia para derivada parcial em relação a x:
\displaystyle f_{x}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Calcule cada pedaço:
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}=2u=2\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr),
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=2x\quad(\text{pois }y\text{ é tratado como constante}).é
Multiplicando:
\displaystyle f_{x}=2\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\cdot 2x=4x\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).

Passo 5

Verificação por expansão (mesmo resultado, é bom ver outra forma): expanda \displaystyle f:
\displaystyle f(x,y)=(x^{2}-y^{2})^{2}=x^{4}-2x^{2}y^{2}+y^{4}.
Agora derive termo a termo em relação a x (lembrando que y é constante):
\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(x^{4})=4x^{3},\qquad \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(-2x^{2}y^{2})=-4xy^{2},\qquad \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(y^{4})=0.
Somando:
\displaystyle f_{x}=4x^{3}-4xy^{2}=4x\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr),
que coincide com o resultado obtido pela regra da cadeia.

Passo 6

Cheque numérico rápido para ganhar confiança: para \displaystyle (x,y)=(2,1),
\displaystyle f_{x}(2,1)=4\cdot 2\cdot(2^{2}-1^{2})=8\cdot(4-1)=8\cdot 3=24.
Se você calcular a derivada pela definição (limite) esse valor também aparece — é só uma confirmação.

Passo 7

Resumo pedagógico: ao derivar parcialmente em relação a x você sempre trata y como constante. Para funções compostas, a regra da cadeia é a ferramenta direta; expandir pode ser útil para checar ou quando a expansão é simples.

Resposta

\displaystyle f_{x}=4x\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)

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