Nos seguintes casos, calcule as derivadas parciais indicadas:
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja
.
Informações relevantes: a função está em duas variáveis e
; ao calcular
tratamos
como constante.
Informações relevantes: a função está em duas variáveis
Passo 2
O que significa calcular a derivada parcial
?
Definição (intuição): é a taxa de variação de quando variamos apenas
, mantendo
fixo. Formalmente,
Definição (intuição): é a taxa de variação de
Na prática, para funções dadas por fórmulas, usamos regras de derivação (regra da cadeia, produto, soma, etc.), tratando
como constante.
Passo 3
Escolha do método: aqui é simples e rápido usar a regra da cadeia porque
é uma função composta:
com
. Vou aplicar a regra da cadeia; depois eu mostro uma verificação expandindo a expressão.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia. Defina
Então
. Pela regra da cadeia para derivada parcial em relação a
:
Calcule cada pedaço:
Multiplicando:
Passo 5
Verificação por expansão (mesmo resultado, é bom ver outra forma): expanda
:
Agora derive termo a termo em relação a
(lembrando que
é constante):
Somando:
que coincide com o resultado obtido pela regra da cadeia.
Passo 6
Cheque numérico rápido para ganhar confiança: para
,
Se você calcular a derivada pela definição (limite) esse valor também aparece — é só uma confirmação.
Passo 7
Resumo pedagógico: ao derivar parcialmente em relação a
você sempre trata
como constante. Para funções compostas, a regra da cadeia é a ferramenta direta; expandir pode ser útil para checar ou quando a expansão é simples.