Nos seguintes casos, determinar a equação do plano que contém as duas retas dadas: e r2:lx=z y=-3.
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano que contém as retas
r1: x=-t, y=1, z=2-t e r2: x=z, y=-3
O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço: precisamos extrair de cada reta um ponto e um vetor diretor, e depois determinar um vetor normal ao plano.
Passo 2
Da reta r1 temos o parâmetro t. Para t=0 vem um ponto sobre r1:
A=(0,1,2)
O vetor diretor de r1 vem dos coeficientes de t:
v1=(-1,0,-1)
Passo 3
Na reta r2 podemos tomar z=s. Para s=0 vem um ponto sobre r2:
B=(0,-3,0)
O vetor diretor de r2 vem dos coeficientes de s em (x,y,z)=(s,-3,s):
v2=(1,0,1)
Passo 4
Observamos que v1=(-1,0,-1) e v2=(1,0,1) são paralelos (na verdade v1=-v2). Logo as retas são paralelas e, para determinar o plano que as contém, basta usar um vetor que ligue pontos quaisquer nelas e um dos vetores diretores.
Passo 5
O vetor que liga A a B é
AB=B-A=(0, -3, 0)-(0,1,2)=(0,-4,-2)
Um vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial
N = v1times AB =(-1,0,-1)times(0,-4,-2)
Calculando componente a componente:
N = l(0cdot(-2)-(-1)cdot(-4),; -l((-1)cdot(-2)-(-1)cdot0r),;(-1)cdot(-4)-0cdot0r) =( -4,,-2,;4)
Podemos simplificar dividindo por -2, obtendo
N=(2,1,-2)
Passo 6
A equação do plano com normal N=(2,1,-2) que passa em A=(0,1,2) é