As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 1 \\\\ 2 & 8 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix}1 & 4 & 1\\\ 2 & 8 & 2\end{pmatrix},
que corresponde a um sistema de m=2 equações e n=3 incógnitas. Precisamos determinar o número de soluções:
(i) no caso homogêneo \bigl(b_1=b_2=0\bigr), e
(ii) no caso geral \bigl(b_1,b_2\bigr).
Para isso vamos usar conceitos de posto da matriz, dimensão do núcleo e condição de consistência.

Passo 2

Calculamos o posto de A. Observamos que a segunda linha é exatamente o dobro da primeira, pois
(2,8,2) = 2\cdot(1,4,1).
Portanto as linhas são linearmente dependentes e o posto de A é
\rank(A)=1.

Passo 3

No caso homogêneo A x = 0, pelo Teorema da Dimensão (posto-nulo), a dimensão do espaço solução (núcleo) é
\dim\ker(A) = n - \rank(A) = 3 - 1 = 2.
Isso significa que existem infinitas soluções livres, com dois parâmetros livres.

Passo 4

No caso geral A x = b com b=(b_1,b_2), o sistema é consistente se e somente se \rank(A)=\rank\bigl([A\mid b]\bigr). Ao montar a matriz ampliada
[A\mid b] = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 & \vline & b_1\\\\ 2 & 8 & 2 & \vline & b_2 \end{pmatrix},
a mesma dependência linear entre linhas exige
b_2 = 2\,b_1
para que a segunda linha não introduza contradição.
– Se b_2 \neq 2\,b_1, então \rank([A\mid b])=2>\rank(A) e o sistema não tem solução.
– Se b_2 = 2\,b_1, então \rank([A\mid b])=1=\rank(A) e o sistema tem infinitas soluções (dimensão do espaço solução igual a \dim\ker(A)=2).

Resposta

(i) Homogêneo ( b_1=b_2=0): infinitas soluções, com dois parâmetros livres.
(ii) Geral ( b_1,b_2 quaisquer):
\bullet se b_2=2\,b_1, infinitas soluções;
\bullet se b_2\neq2\,b_1, nenhuma solução.

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