As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas. \left[\begin{array}{ll}5 & 4 \\\\ 3 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix}5 & 4 \\[6pt] 3 & 2\end{pmatrix}
de um sistema linear A x = b em duas variáveis. Queremos analisar o número de soluções nos casos 1. sistema homogêneo (b_1=b_2=0); 2. sistema não homogêneo (vetor b arbitrário).
O conteúdo que vamos usar é o critério de invertibilidade (determinante não nulo) e o Teorema da Dimensão (Teorema do Núcleo e Imagem).]
Passo 2
Calculamos o determinante de A:
\det(A) = 5\cdot2 - 4\cdot3 = 10 - 12 = -2.
Como \det(A)\neq 0, a matriz A é invertível e seu posto é o número máximo de colunas linearmente independentes, ou seja, \mathrm{rank}(A)=2.
Passo 3
No sistema homogêneo A x = 0, a dimensão do espaço de soluções (o núcleo de A) é dada por
\dim(\ker A) = n - \mathrm{rank}(A) = 2 - 2 = 0.
Isso significa que a única solução é a solução trivial x = 0.
Passo 4
No sistema não homogêneo A x = b com b qualquer, como \mathrm{rank}(A)=2 é igual ao número de incógnitas n=2, o sistema é sempre compatível e a solução é única, dado que A é invertível (podemos escrever x = A^{-1}b).
Resposta
(i) Para b = 0, o sistema homogêneo tem única solução trivial x = 0.
(ii) Para b geral, o sistema não homogêneo é sempre compatível e possui exatamente uma solução.