As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas. \left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 1 \\\\ 4 & 2 & 1\end{array}\right]
de um sistema A x = b com m=2 equações e n=3 incógnitas. Precisamos dizer quantas soluções existem em dois casos:
(i) para o sistema homogêneo b=(0,0), e
(ii) para um vetor-lado direito genérico b=(b_1,b_2).
Vamos usar os conceitos de posto (rank), espaço nulo e espaço coluna.
Passo 2
Calcular o posto de A\). Observe as duas linhas
\((1,4,1)\) e \((4,2,1)\). Fazendo a combinação
\[\alpha(1,4,1)+\beta(4,2,1)=(0,0,0)
Da primeira equação \alpha=-4\beta\]. Substituindo na segunda dá \(-16\beta+2\beta=-14\beta=0, logo \beta=0 e \alpha=0. Portanto as linhas são independentes e
\mathrm{rank}(A)=2.
Passo 3
Caso homogêneo A x=0. Pelo Teorema da Dimensão (teorema do posto), o espaço das soluções tem dimensão
\dim\ker(A)=n-\mathrm{rank}(A)=3-2=1,
isto é, existe um parâmetro livre e, além da solução trivial x=0, há infinitas soluções. Logo no caso b=(0,0) o sistema tem infinitas soluções.
Passo 4
Caso geral A x=b. O sistema é consistente se e somente se b pertence ao espaço coluna de A. Como
e estamos em \mathbb{R}^2, isso significa \mathrm{Col}(A)=\mathbb{R}^2. Qualquer vetor b=(b_1,b_2) cai nesse espaço, logo o sistema é sempre consistente. Além disso, como em todo caso não homogêneo a solução geral é uma solução particular mais a solução geral do homogêneo, e já vimos que há um parâmetro livre, concluímos que para qualquer b existem infinitas soluções.
Resposta
(i) Para b=(0,0), infinitas soluções.
(ii) Para qualquer b=(b_1,b_2), o sistema é sempre compatível e tem infinitas soluções.