Quais dos seguintes conjunto
abaixo são subespaços vetoriais de
?
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
abaixo é um subespaço vetorial de
:
Informações dadas:
- O conjunto
é formado por todos os vetores que satisfazem a equação linear . - Os parâmetros
são números reais. (Vou assumir que são constantes fixas do enunciado; isto é o caso típico: temos uma equação com coeficientes fixos .) - A pergunta é: para tais coeficientes fixos,
é um subespaço de ?
Passo 2
Definição prática de subespaço (a ferramenta que vamos usar): um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se:
-
não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor nulo ); -
é fechado na soma: se e , então ; -
é fechado na multiplicação por escalar: se e , então .
Vou verificar essas três propriedades para. Antes disso, um comentário útil: a expressão é o produto escalar (dot product) entre o vetor fixo e o vetor . Então é o conjunto de vetores ortogonais a . Mas vou fazer as verificações algébricas passo a passo.
Passo 3
Verificação de não vazio (vetor nulo).
O vetor nulo é . Substituindo na equação:
O vetor nulo é
Portanto
. Conclusão:
não é vazio.
Passo 4
Fechamento por soma.
Sejam e
. Por definição de
temos
Sejam
Agora considere
. Avaliando a combinação linear:
Como cada parêntese é zero (pelas igualdades acima), a soma é zero. Logo
. Portanto
é fechado por soma.
Passo 5
Fechamento por multiplicação por escalar.
Seja de modo que
. Seja
. Considere
. Então
Seja
Portanto
. Conclusão:
é fechado por multiplicação por escalar.
Passo 6
Como
contém o vetor nulo e é fechado por soma e por multiplicação por escalar, pelo critério de subespaço segue que
é um subespaço vetorial de
para quaisquer coeficientes fixos
.
Passo 7
Interpretação geométrica e casos particulares (útil para a prova).
- Se
, a equação é a identidade , então todo vetor de satisfaz a equação. Assim neste caso (subespaço de dimensão ). - Se
, então é o conjunto dos vetores ortogonais a um vetor não nulo; geometricamente isso é um plano passando pela origem, portanto um subespaço de dimensão .
Passo 8
Como encontrar uma base de
(técnica prática para a prova).
Suponha . Para escrever vetores de
de forma paramétrica, resolvemos a equação. Exemplo prático quando
:
Suponha
Podemos parametrizar com parâmetros
e
:
Portanto uma base de
é, por exemplo,
(verificar independência linear é direto). Se
escolhemos outra coordenada não nula e procedemos de modo análogo (por exemplo se
isolamos
, etc.). Assim vemos concretamente que a dimensão é
quando
.
Passo 9
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia.
Tome . A equação é
. Isolando
:
Tome
Uma parametrização é
logo
é um plano (subespaço de dimensão
) com base dada acima. Isso ilustra o procedimento que você pode usar na prova: isolar uma variável e parametrizar.
Resposta
Sim.
é subespaço vetorial de
para quaisquer coeficientes fixos
.
Se então
. Caso contrário
e
é um plano passando pela origem (subespaço de dimensão
).
Se