Quais dos seguintes conjunto W abaixo são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{3} ?
W=\{(x, y, z) \in
\left.\mathbb{R}^{3} ; a x+b y+c z=0, a, b, c \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto W abaixo é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}:
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid a x + b y + c z = 0,\; a,b,c\in\mathbb{R}\}.
Informações dadas:
  • O conjunto W é formado por todos os vetores (x,y,z) que satisfazem a equação linear a x + b y + c z = 0.
  • Os parâmetros a,b,c são números reais. (Vou assumir que são constantes fixas do enunciado; isto é o caso típico: temos uma equação com coeficientes fixos a,b,c.)
  • A pergunta é: para tais coeficientes fixos, W é um subespaço de \mathbb{R}^{3}?

Passo 2

Definição prática de subespaço (a ferramenta que vamos usar): um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço vetorial se e somente se:
  1. S não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor nulo (0,0,0));
  2. S é fechado na soma: se u\in S e v\in S, então u+v\in S;
  3. S é fechado na multiplicação por escalar: se u\in S e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda u\in S.
    Vou verificar essas três propriedades para W. Antes disso, um comentário útil: a expressão a x + b y + c z é o produto escalar (dot product) entre o vetor fixo (a,b,c) e o vetor (x,y,z). Então W é o conjunto de vetores ortogonais a (a,b,c). Mas vou fazer as verificações algébricas passo a passo.

Passo 3

Verificação de não vazio (vetor nulo).
O vetor nulo é (0,0,0). Substituindo na equação:
a\cdot 0 + b\cdot 0 + c\cdot 0 = 0.
Portanto (0,0,0)\in W. Conclusão: W não é vazio.

Passo 4

Fechamento por soma.
Sejam u=(x_1,y_1,z_1)\in W e v=(x_2,y_2,z_2)\in W. Por definição de W temos
a x_1 + b y_1 + c z_1 = 0 \quad\text{e}\quad a x_2 + b y_2 + c z_2 = 0.
Agora considere u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2). Avaliando a combinação linear:
a(x_1+x_2) + b(y_1+y_2) + c(z_1+z_2) = (a x_1 + b y_1 + c z_1) + (a x_2 + b y_2 + c z_2).
Como cada parêntese é zero (pelas igualdades acima), a soma é zero. Logo u+v\in W. Portanto W é fechado por soma.

Passo 5

Fechamento por multiplicação por escalar.
Seja u=(x,y,z)\in W de modo que a x + b y + c z = 0. Seja \lambda\in\mathbb{R}. Considere \lambda u=(\lambda x,\lambda y,\lambda z). Então
a(\lambda x) + b(\lambda y) + c(\lambda z) = \lambda (a x + b y + c z) = \lambda\cdot 0 = 0.
Portanto \lambda u\in W. Conclusão: W é fechado por multiplicação por escalar.

Passo 6

Como W contém o vetor nulo e é fechado por soma e por multiplicação por escalar, pelo critério de subespaço segue que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} para quaisquer coeficientes fixos a,b,c\in\mathbb{R}.

Passo 7

Interpretação geométrica e casos particulares (útil para a prova).
  • Se (a,b,c)=(0,0,0), a equação a x + b y + c z = 0 é a identidade 0=0, então todo vetor de \mathbb{R}^3 satisfaz a equação. Assim neste caso W=\mathbb{R}^3 (subespaço de dimensão 3).
  • Se (a,b,c)\neq(0,0,0), então W é o conjunto dos vetores ortogonais a um vetor não nulo; geometricamente isso é um plano passando pela origem, portanto um subespaço de dimensão 2.

Passo 8

Como encontrar uma base de W (técnica prática para a prova).
Suponha (a,b,c)\neq(0,0,0). Para escrever vetores de W de forma paramétrica, resolvemos a equação. Exemplo prático quando c\neq 0:
a x + b y + c z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = -\frac{a}{c}x - \frac{b}{c}y.
Podemos parametrizar com parâmetros s=x e t=y:
(x,y,z) = (s,t,-\tfrac{a}{c}s - \tfrac{b}{c}t) = s\,(1,0,-\tfrac{a}{c}) + t\,(0,1,-\tfrac{b}{c}).
Portanto uma base de W é, por exemplo, \{(1,0,-\tfrac{a}{c}),\;(0,1,-\tfrac{b}{c})\} (verificar independência linear é direto). Se c=0 escolhemos outra coordenada não nula e procedemos de modo análogo (por exemplo se b\neq 0 isolamos y, etc.). Assim vemos concretamente que a dimensão é 2 quando (a,b,c)\neq(0,0,0).

Passo 9

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia.
Tome (a,b,c)=(1,2,3). A equação é x+2y+3z=0. Isolando z:
z = -\tfrac{1}{3}x - \tfrac{2}{3}y.
Uma parametrização é
(x,y,z)=s\,(1,0,-\tfrac{1}{3})+t\,(0,1,-\tfrac{2}{3}),
logo W é um plano (subespaço de dimensão 2) com base dada acima. Isso ilustra o procedimento que você pode usar na prova: isolar uma variável e parametrizar.

Resposta

Sim. W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} para quaisquer coeficientes fixos a,b,c\in\mathbb{R}.
Se (a,b,c)=(0,0,0) então W=\mathbb{R}^{3}. Caso contrário (a,b,c)\neq(0,0,0) e W é um plano passando pela origem (subespaço de dimensão 2).

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