Considere o conjunto
. Mostre que (
) não é um espaço vetorial sobre
em relação a cada uma das seguintes operações
dadas por:
e
.
Passo 1
O enunciado define
com a soma usual
e a multiplicação escalar “estranha”
Queremos mostrar que
não é um espaço vetorial sobre
, isto é, algum axioma de espaço vetorial falha.
Passo 2
Entre os axiomas de espaço vetorial existe a distributividade da multiplicação escalar sobre a soma de escalares, ou seja, deve valer para todos
e todo
:
Vamos testar esse axioma com a operação dada.
Passo 3
Escolhemos um vetor de teste
e escalares
,
.
Cálculo do lado esquerdo:
Cálculo do lado direito:
Passo 4
Comparando, vemos que
ou seja,
Logo o axioma de distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares não é satisfeito.