Considere o conjunto V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \mid x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}\right\}. Mostre que ( V,+, \cdot ) não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} em relação a cada uma das seguintes operações +\mathrm{e} \cdot dadas por:
\left(x_{1}, x_{2}\right)+\left(y_{1}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}\right) e \lambda \cdot\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\lambda x_{1}, x_{2}\right).

Passo 1

O enunciado define
V = \{(x_{1},x_{2}) \mid x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}\}
com a soma usual
(x_{1},x_{2}) + (y_{1},y_{2}) = (x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2})
e a multiplicação escalar “estranha”
\lambda \cdot (x_{1},x_{2}) = (\lambda x_{1},\,x_{2})\,.
Queremos mostrar que (V,+,\cdot) não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, isto é, algum axioma de espaço vetorial falha.

Passo 2

Entre os axiomas de espaço vetorial existe a distributividade da multiplicação escalar sobre a soma de escalares, ou seja, deve valer para todos \lambda,\mu\in\mathbb{R} e todo v\in V:
(\lambda + \mu)\cdot v \;=\; \lambda\cdot v \;+\;\mu\cdot v\,.
Vamos testar esse axioma com a operação dada.

Passo 3

Escolhemos um vetor de teste v = (1,1) e escalares \lambda = 1, \mu = 1.
Cálculo do lado esquerdo:
(\lambda + \mu)\cdot v = (1+1)\cdot(1,1) = 2\cdot(1,1) = (2\cdot1,\,1) = (2,\,1).
Cálculo do lado direito:
\lambda\cdot v + \mu\cdot v = 1\cdot(1,1) + 1\cdot(1,1) = (1\cdot1,\,1) \;+\; (1\cdot1,\,1) = (1,\,1) + (1,\,1) = (1+1,\,1+1) = (2,\,2).

Passo 4

Comparando, vemos que
(\lambda + \mu)\cdot v = (2,1) \quad\text{mas}\quad \lambda\cdot v + \mu\cdot v = (2,2),
ou seja,
(\lambda + \mu)\cdot v \;\neq\; \lambda\cdot v + \mu\cdot v.
Logo o axioma de distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares não é satisfeito.

Resposta

(V,+,\cdot) não é espaço vetorial sobre \mathbb{R} porque falha a propriedade
(\lambda + \mu)\cdot v = \lambda\cdot v + \mu\cdot v.

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