Qual dos seguintes conjuntos de números quânticos NÃO é possível para um elétron em um átomo? Justifique.
a) \mathrm{n}=3, \mathrm{l}=2, \mathrm{~m}_{\mathrm{l}}=-1, \mathrm{~m}_{\mathrm{s}}=+1 / 2
b) \mathrm{n}=2, \mathrm{l}=0, \mathrm{~m}_{\mathrm{l}}=0, \mathrm{~m}_{\mathrm{s}}=-1 / 2
c) \mathrm{n}=4, \mathrm{l}=3, \mathrm{~m}_{\mathrm{l}}=+4, \mathrm{~m}_{\mathrm{s}}=+1 / 2
d) \mathrm{n}=1, \mathrm{l}=0, \mathrm{ml}_{\mathrm{I}}=0, \mathrm{~m}_{\mathrm{s}}=+1 / 2
e) \mathrm{n}=3, \mathrm{l}=1, \mathrm{~m}_{\mathrm{I}}=0, \mathrm{~m}_{\mathrm{s}}=-1 / 2

Passo 1

O enunciado pede que a gente identifique qual dos conjuntos de números quânticos NÃO é possível para um elétron em um átomo e que justifique a escolha. Os conjuntos fornecidos são:
a) \mathrm{n}=3,\\ \mathrm{l}=2,\\ \mathrm{m}_{\mathrm{l}}=-1,\\ \mathrm{m}_{\mathrm{s}}=+\tfrac{1}{2}
b) \mathrm{n}=2,\\ \mathrm{l}=0,\\ \mathrm{m}_{\mathrm{l}}=0,\\ \mathrm{m}_{\mathrm{s}}=-\tfrac{1}{2}
c) \mathrm{n}=4,\\ \mathrm{l}=3,\\ \mathrm{m}_{\mathrm{l}}=+4,\\ \mathrm{m}_{\mathrm{s}}=+\tfrac{1}{2}
d) \mathrm{n}=1,\\ \mathrm{l}=0,\\ \mathrm{m}_{\mathrm{l}}=0,\\ \mathrm{m}_{\mathrm{s}}=+\tfrac{1}{2}
e) \mathrm{n}=3,\\ \mathrm{l}=1,\\ \mathrm{m}_{\mathrm{l}}=0,\\ \mathrm{m}_{\mathrm{s}}=-\tfrac{1}{2}
Agora vamos entender quais são as regras que determinam se um conjunto é válido.

Passo 2

Regras básicas (explicadas de forma simples):
  • O número quântico principal \mathrm{n} indica o nível de energia e deve ser um inteiro positivo: \mathrm{n}=1,2,3,\dotsExemplo: \mathrm{n}=1 é o nível mais interno, \mathrm{n}=2 o próximo, etc.
  • O número quântico azimutal \mathrm{l} (ou momento angular orbital) é um inteiro que depende de \mathrm{n}: 0 \le \mathrm{l} \le \mathrm{n}-1,ou seja, para cada \mathrm{n} os valores possíveis de \mathrm{l} são 0,1,\dots,\mathrm{n}-1.
    Exemplo: se \mathrm{n}=3, então \mathrm{l} pode ser 0,1 ou 2.
  • O número quântico magnético \mathrm{m}_{\mathrm{l}} corresponde à projeção do momento angular e deve satisfazer: -\mathrm{l} \le \mathrm{m}_{\mathrm{l}} \le \mathrm{l},sendo \mathrm{m}_{\mathrm{l}} um inteiro. Em palavras simples: \mathrm{m}_{\mathrm{l}} só pode assumir valores inteiros entre -\mathrm{l} e +\mathrm{l}.
    Exemplo: se \mathrm{l}=2, então \mathrm{m}_{\mathrm{l}}\in\{-2,-1,0,1,2\}.
  • O número quântico de spin \mathrm{m}_{\mathrm{s}} para um elétron só pode ser: \mathrm{m}_{\mathrm{s}}=+\tfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad \mathrm{m}_{\mathrm{s}}=-\tfrac{1}{2}.Não existe outro valor para o spin de um elétron no modelo padrão do átomo.
Essas regras vêm da solução da equação de Schrödinger (para o átomo de hidrogênio como referência) e da quantização do momento angular. Para a nossa prova é suficiente memorizar e aplicar essas desigualdades.

Passo 3

Verificação do item a):
\mathrm{n}=3 permite \mathrm{l}=0,1,2, logo \mathrm{l}=2 é permitido.
Para \mathrm{l}=2 temos \mathrm{m}_{\mathrm{l}}\in\{-2,-1,0,1,2\}, e \mathrm{m}_{\mathrm{l}}=-1 está nessa lista.
\mathrm{m}_{\mathrm{s}}=+\tfrac{1}{2} é um valor válido de spin.
Conclusão: o conjunto da opção a) é possível.

Passo 4

Verificação do item b):
\mathrm{n}=2 permite \mathrm{l}=0 ou \mathrm{l}=1, então \mathrm{l}=0 é permitido.
Para \mathrm{l}=0 só existe \mathrm{m}_{\mathrm{l}}=0, e aí \mathrm{m}_{\mathrm{l}}=0 está correto.
\mathrm{m}_{\mathrm{s}}=-\tfrac{1}{2} é um valor válido de spin.
Conclusão: o conjunto da opção b) é possível.

Passo 5

Verificação do item c):
\mathrm{n}=4 permite \mathrm{l}=0,1,2,3, logo \mathrm{l}=3 é permitido.
Mas para \mathrm{l}=3 a regra para \mathrm{m}_{\mathrm{l}} é
\mathrm{m}_{\mathrm{l}}\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3\},
ou seja, os valores de \mathrm{m}_{\mathrm{l}} vão de -3 até +3. O valor apresentado na opção c) é \mathrm{m}_{\mathrm{l}}=+4, que está fora desse intervalo.
Portanto \mathrm{m}_{\mathrm{l}}=+4 viola a condição |\mathrm{m}_{\mathrm{l}}|\le \mathrm{l}. Mesmo que \mathrm{n}, \mathrm{l} e \mathrm{m}_{\mathrm{s}} sejam aceitáveis, o \mathrm{m}_{\mathrm{l}}=+4 torna o conjunto impossível.
Conclusão: a opção c) NÃO é possível.

Passo 6

Verificação do item d):
\mathrm{n}=1 implica \mathrm{l}=0 (único valor possível). Com \mathrm{l}=0 só existe \mathrm{m}_{\mathrm{l}}=0. \mathrm{m}_{\mathrm{s}}=+\tfrac{1}{2} é válido.
Conclusão: o conjunto da opção d) é possível.

Passo 7

Verificação do item e):
\mathrm{n}=3 permite \mathrm{l}=1. Para \mathrm{l}=1 temos \mathrm{m}_{\mathrm{l}}\in\{-1,0,1\}, de modo que \mathrm{m}_{\mathrm{l}}=0 é válido. \mathrm{m}_{\mathrm{s}}=-\tfrac{1}{2} também é válido.
Conclusão: o conjunto da opção e) é possível.

Passo 8

Resumo e observação final: a única violação das regras de quantização que apareceu nas opções é a da letra c), por causa de \mathrm{m}_{\mathrm{l}}=+4 enquanto para \mathrm{l}=3 o máximo absoluto permitido é |\mathrm{m}_{\mathrm{l}}|=3. É comum confundir os limites de \mathrm{m}_{\mathrm{l}} — basta lembrar sempre da regra simples -\mathrm{l}\le \mathrm{m}_{\mathrm{l}}\le \mathrm{l}.

Resposta

c) \mathrm{n}=4,\\ \mathrm{l}=3,\\ \mathrm{m}_{\mathrm{l}}=+4,\\ \mathrm{m}_{\mathrm{s}}=+\tfrac{1}{2}

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