Por que os seguintes conjuntos com as respectivas operações não constituem um grupo?
Passo 1
O enunciado dá o conjunto e a operação:
, ou seja, o conjunto dos inteiros
com a operação “menos” (subtração). A pergunta é: por que esse par não constitui um grupo?
Passo 2
Lembrando (passo-a-passo) a definição de grupo: um conjunto
com uma operação binária
é um grupo se satisfaz, para todos
,
- Fechamento:
. - Associatividade:
. - Existência de elemento neutro
: para todo . - Existência de inversos: para cada
existe tal que .
Vou checar esses pontos um a um para
.
Passo 3
Fechamento: dadas quaisquer
, tem-se
. Isso ocorre porque a subtração de inteiros é sempre um inteiro. Logo a propriedade de fechamento é satisfeita.
Passo 4
Associatividade: precisamos verificar se vale
para todos
. Em geral a subtração NÃO é associativa. Um contraexemplo simples basta:
Escolhendo ,
,
:
Escolhendo
enquanto
Como
, temos
. Portanto a associatividade falha. Como associatividade é uma das condições obrigatórias de grupo, isso já impede que
seja um grupo.
Passo 5
Mesmo que a falha de associatividade já seja suficiente, é instrutivo ver também o problema com elemento neutro. Suponha que exista
tal que
seja neutro para a subtração, isto é, para todo
valha
Da primeira igualdade
segue
. Mas da segunda
segue
para todo
, o que é impossível (não existe um mesmo inteiro
igual a
para todos os
). Portanto não existe elemento neutro que funcione simultaneamente à esquerda e à direita.
Passo 6
Inversos: como não existe um elemento neutro bilateral
, a noção de inverso bilateral (um
com
) não pode ser satisfeita para todos os
. Mesmo tentando usar
(que só satisfaz
mas não
), veria-se que as condições bilaterais exigidas para um inverso de grupo não são atendidas. Logo não há inversos no sentido exigido por um grupo.
Passo 7
Conclusão prática:
não é grupo porque a operação de subtração não é associativa e também não existe elemento neutro bilateral (portanto não existem inversos conforme exigido). Na prova, o caminho mais direto é mostrar a falha da associatividade com um contraexemplo simples (como o do Passo 4) — isso já basta para concluir que não é grupo.