Por que os seguintes conjuntos com as respectivas operações não constituem um grupo?
(\mathbb{Z},-)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto e a operação: (\mathbb{Z},-), ou seja, o conjunto dos inteiros \mathbb{Z} com a operação “menos” (subtração). A pergunta é: por que esse par não constitui um grupo?

Passo 2

Lembrando (passo-a-passo) a definição de grupo: um conjunto G com uma operação binária * é um grupo se satisfaz, para todos a,b,c\in G,
  1. Fechamento: a*b\in G.
  2. Associatividade: (a*b)*c = a*(b*c).
  3. Existência de elemento neutro e\in G: e*a = a = a*e para todo a\in G.
  4. Existência de inversos: para cada a\in G existe a^{-1}\in G tal que a*a^{-1} = e = a^{-1}*a.
Vou checar esses pontos um a um para (\mathbb{Z},-).

Passo 3

Fechamento: dadas quaisquer a,b\in\mathbb{Z}, tem-se a-b\in\mathbb{Z}. Isso ocorre porque a subtração de inteiros é sempre um inteiro. Logo a propriedade de fechamento é satisfeita.

Passo 4

Associatividade: precisamos verificar se vale (a-b)-c = a-(b-c) para todos a,b,c\in\mathbb{Z}. Em geral a subtração NÃO é associativa. Um contraexemplo simples basta:
Escolhendo a=1, b=2, c=3:
(1-2)-3 = (-1)-3 = -4,
enquanto
1-(2-3) = 1-(-1) = 2.
Como -4 \neq 2, temos (1-2)-3 \neq 1-(2-3). Portanto a associatividade falha. Como associatividade é uma das condições obrigatórias de grupo, isso já impede que (\mathbb{Z},-) seja um grupo.

Passo 5

Mesmo que a falha de associatividade já seja suficiente, é instrutivo ver também o problema com elemento neutro. Suponha que exista e\in\mathbb{Z} tal que e seja neutro para a subtração, isto é, para todo a\in\mathbb{Z} valha
a - e = a \quad\text{e}\quad e - a = a.
Da primeira igualdade a-e=a segue e=0. Mas da segunda e-a=a segue e=2a para todo a, o que é impossível (não existe um mesmo inteiro e igual a 2a para todos os a). Portanto não existe elemento neutro que funcione simultaneamente à esquerda e à direita.

Passo 6

Inversos: como não existe um elemento neutro bilateral e, a noção de inverso bilateral (um b com a-b=b-a=e) não pode ser satisfeita para todos os a. Mesmo tentando usar e=0 (que só satisfaz a-0=a mas não 0-a=a), veria-se que as condições bilaterais exigidas para um inverso de grupo não são atendidas. Logo não há inversos no sentido exigido por um grupo.

Passo 7

Conclusão prática: (\mathbb{Z},-) não é grupo porque a operação de subtração não é associativa e também não existe elemento neutro bilateral (portanto não existem inversos conforme exigido). Na prova, o caminho mais direto é mostrar a falha da associatividade com um contraexemplo simples (como o do Passo 4) — isso já basta para concluir que não é grupo.

Resposta

(\mathbb{Z},-) não é um grupo porque a operação - não é associativa (por exemplo (1-2)-3=-4 \neq 2=1-(2-3)) e não existe elemento neutro bilateral para a subtração.

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