Por que os seguintes conjuntos com as respectivas operações não constituem um grupo?
(\mathbb{N},+)

Passo 1

O enunciado pede: explicar por que o conjunto (\mathbb{N},+) com a operação de adição não constitui um grupo.
Informações dadas: o conjunto é \mathbb{N} (conjunto dos naturais) e a operação é a adição +.
Observação: há duas convenções comuns para \mathbb{N}: ou \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\} (inclui o zero) ou \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} (não inclui o zero). Vou considerar ambas as convenções quando for relevante.

Passo 2

Lembrete didático: o que é preciso para que (S,\star) seja um grupo? Deve satisfazer quatro axiomas (vou explicar cada um com calma):
  1. Fechamento: para todo a,b\in S deve valer a\star b\in S. Ou seja, operar dois elementos de S não pode nos tirar de S.
  2. Associatividade: para todo a,b,c\in S deve valer (a\star b)\star c = a\star(b\star c). Isso garante que a ordem de agrupar operações não importa.
  3. Existência de elemento neutro (identidade): existe e\in S tal que, para todo a\in S, e\star a = a = a\star e.
  4. Existência de inversos: para cada a\in S existe a^{-1}\in S tal que a\star a^{-1} = e = a^{-1}\star a, onde e é o elemento neutro do item anterior.
Cada letra aqui: S é o conjunto (no nosso caso \mathbb{N}), \star é a operação (no nosso caso +), e é o neutro e a^{-1} é o inverso de a.

Passo 3

Verificação do fechamento para (\mathbb{N},+).
Tomemos a,b\in\mathbb{N}. A soma de dois naturais é sempre um natural, isto é, a+b\in\mathbb{N}. Por exemplo, 2+5=7, que é natural. Portanto o fechamento está satisfeito.

Passo 4

Verificação da associatividade para + em \mathbb{N}.
A adição de números naturais é associativa: para quaisquer a,b,c\in\mathbb{N} vale (a+b)+c = a+(b+c). Intuitivamente, contar a itens, depois b, depois c dá o mesmo total independentemente de agrupar os dois primeiros ou os dois últimos. Exemplo numérico: (1+2)+3 = 3+3 = 6 e 1+(2+3) = 1+5 = 6. Logo a associatividade também está satisfeita.

Passo 5

Verificação da existência do elemento neutro (identidade).
  • Se adotarmos \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}, então existe 0\in\mathbb{N} tal que, para todo a\in\mathbb{N}, 0+a=a e a+0=a. Portanto nesta convenção o neutro existe e é 0.
  • Se adotarmos \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}, então não há 0 em \mathbb{N} e, portanto, não existe nenhum elemento e\in\mathbb{N} que satisfaça e+a=a para todo a. Por exemplo, não existe e\in\{1,2,3,\dots\} tal que e+1=1. Assim, nesta segunda convenção falta até o elemento neutro.
Conclusão parcial: dependendo da convenção, o neutro pode existir (se 0 está em \mathbb{N}) ou não (se 0 não está).

Passo 6

Verificação da existência de inversos aditivos. Este ponto é o crucial.
Suponha a convenção mais comum para grupos aditivos, onde o neutro seria 0 (isto é, suponha \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}). Para cada a\in\mathbb{N} precisamos de um b\in\mathbb{N} tal que a+b=0. Mas, como a e b são naturais (não-negativos), a única maneira de a+b=0 é ter a=0 e b=0. Assim apenas 0 tem um inverso (ele mesmo). Qualquer a>0 não possui b\in\mathbb{N} com a+b=0. Por exemplo, para a=3 o inverso aditivo seria -3, que não pertence a \mathbb{N}. Portanto para os elementos positivos não existem inversos em \mathbb{N}.
Se, além disso, adotarmos a convenção sem 0 ( \mathbb{N}=\{1,2,\dots\}), então já falhamos no item anterior (não há neutro), e sem neutro sequer faz sentido ter inversos — logo também não podemos ter inversos para todos os elementos.
Resumo: em qualquer convenção razoável, a condição “cada elemento tem inverso” falha — na convenção com 0 0 tem inverso; na convenção sem 0 nem o neutro existe.

Passo 7

Conclusão final e interpretação didática: embora (\mathbb{N},+) satisfaça fechamento e associatividade, ele não satisfaz a exigência de existência de inversos para todos os elementos; e, dependendo da convenção, pode nem ter elemento neutro. Por isso (\mathbb{N},+) não é um grupo. Uma maneira prática de lembrar: para ter inversos aditivos é preciso permitir “números negativos”; como \mathbb{N} não contém negativos, faltam inversos.
Força aí — isso é um caso clássico, e a solução rápida para a prova é apontar diretamente a ausência de inversos (e mencionar a questão do zero se for pertinente).

Resposta

Não. (\mathbb{N},+) não é um grupo porque não existem inversos aditivos para os elementos positivos de \mathbb{N}; além disso, se \mathbb{N} for a convenção sem 0 (ou seja \{1,2,\dots\}), então também falta o elemento neutro.

Exercícios relacionados