Por que os seguintes conjuntos com as respectivas operações não constituem um grupo?
Passo 1
O enunciado pede: explicar por que o conjunto
com a operação de adição não constitui um grupo.
Informações dadas: o conjunto é (conjunto dos naturais) e a operação é a adição
.
Observação: há duas convenções comuns para : ou
(inclui o zero) ou
(não inclui o zero). Vou considerar ambas as convenções quando for relevante.
Informações dadas: o conjunto é
Observação: há duas convenções comuns para
Passo 2
Lembrete didático: o que é preciso para que
seja um grupo? Deve satisfazer quatro axiomas (vou explicar cada um com calma):
- Fechamento: para todo
deve valer . Ou seja, operar dois elementos de não pode nos tirar de . - Associatividade: para todo
deve valer . Isso garante que a ordem de agrupar operações não importa. - Existência de elemento neutro (identidade): existe
tal que, para todo , . - Existência de inversos: para cada
existe tal que , onde é o elemento neutro do item anterior.
Cada letra aqui:
é o conjunto (no nosso caso
),
é a operação (no nosso caso
),
é o neutro e
é o inverso de
.
Passo 3
Verificação do fechamento para
.
Tomemos . A soma de dois naturais é sempre um natural, isto é,
. Por exemplo,
, que é natural. Portanto o fechamento está satisfeito.
Tomemos
Passo 4
Verificação da associatividade para
em
.
A adição de números naturais é associativa: para quaisquer vale
. Intuitivamente, contar
itens, depois
, depois
dá o mesmo total independentemente de agrupar os dois primeiros ou os dois últimos. Exemplo numérico:
e
. Logo a associatividade também está satisfeita.
A adição de números naturais é associativa: para quaisquer
Passo 5
Verificação da existência do elemento neutro (identidade).
- Se adotarmos
, então existe tal que, para todo , e . Portanto nesta convenção o neutro existe e é . - Se adotarmos
, então não há em e, portanto, não existe nenhum elemento que satisfaça para todo . Por exemplo, não existe tal que . Assim, nesta segunda convenção falta até o elemento neutro.
Conclusão parcial: dependendo da convenção, o neutro pode existir (se 0 está em
) ou não (se 0 não está).
Passo 6
Verificação da existência de inversos aditivos. Este ponto é o crucial.
Suponha a convenção mais comum para grupos aditivos, onde o neutro seria (isto é, suponha
). Para cada
precisamos de um
tal que
. Mas, como
e
são naturais (não-negativos), a única maneira de
é ter
e
. Assim apenas
tem um inverso (ele mesmo). Qualquer
não possui
com
. Por exemplo, para
o inverso aditivo seria
, que não pertence a
. Portanto para os elementos positivos não existem inversos em
.
Se, além disso, adotarmos a convenção sem (
), então já falhamos no item anterior (não há neutro), e sem neutro sequer faz sentido ter inversos — logo também não podemos ter inversos para todos os elementos.
Suponha a convenção mais comum para grupos aditivos, onde o neutro seria
Se, além disso, adotarmos a convenção sem
Resumo: em qualquer convenção razoável, a condição “cada elemento tem inverso” falha — na convenção com
só
tem inverso; na convenção sem
nem o neutro existe.
Passo 7
Conclusão final e interpretação didática: embora
satisfaça fechamento e associatividade, ele não satisfaz a exigência de existência de inversos para todos os elementos; e, dependendo da convenção, pode nem ter elemento neutro. Por isso
não é um grupo. Uma maneira prática de lembrar: para ter inversos aditivos é preciso permitir “números negativos”; como
não contém negativos, faltam inversos.
Força aí — isso é um caso clássico, e a solução rápida para a prova é apontar diretamente a ausência de inversos (e mencionar a questão do zero se for pertinente).
Resposta
Não.
não é um grupo porque não existem inversos aditivos para os elementos positivos de
; além disso, se
for a convenção sem
(ou seja
), então também falta o elemento neutro.