Quais dos seguintes conjuntos são ideais de mathbb{Z} ? Em cada resposta afirmativa, determinar o inteiro positivo m tal que J=m \mathbb{Z}.
Todos os inteiros n tais que n \mid 24.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
J=\{\,n\in\mathbb{Z}\mid n\mid 24\,\},
isto é, todos os inteiros que dividem 24. Explicitamente, a partir da imagem fornecida pela frase, os elementos são
J=\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm8,\pm12,\pm24\}.
A pergunta é: este conjunto J é um ideal de \mathbb{Z}? Se for, determinar o inteiro positivo m tal que J=m\mathbb{Z}.

Passo 2

Vou lembrar qual é a propriedade que um ideal de \mathbb{Z} deve satisfazer (aqui ensino o básico, passo a passo, como você pediu). Uma subconjunto I\subseteq\mathbb{Z} é ideal se, e somente se:
  1. I é não vazio;
  2. I é fechada sob adição: se a,b\in I então a+b\in I;
  3. I é fechada sob multiplicação por qualquer inteiro: se a\in I e r\in\mathbb{Z} então ra\in I.
Uma consequência imediata dessas propriedades é que todo ideal deve conter 0, porque tomando r=0 e qualquer a\in I obtém-se 0\cdot a=0\in I. Também é útil lembrar (mais adiante) que os ideais de \mathbb{Z} são exatamente os conjuntos da forma m\mathbb{Z}=\{km\mid k\in\mathbb{Z}\} para algum inteiro m\ge 0, mas para responder se o conjunto dado é ideal muitas vezes basta verificar as propriedades acima (especialmente a exigência de conter 0).

Passo 3

Vou verificar se 0\in J. Pela definição de divisibilidade, "n\mid 24" significa que existe k\in\mathbb{Z} tal que
24 = n\cdot k.
Se tentarmos n=0 isso significaria 24 = 0\cdot k = 0, o que é impossível. Portanto
0\notin J.
Como expliquei no passo anterior, qualquer ideal de \mathbb{Z} deve obrigatoriamente conter 0. Isso já é um sinal forte de que J não pode ser ideal.

Passo 4

Para reforçar e mostrar de forma bem concreta que J falha numa propriedade de ideal, observe que 1\in J porque 1\mid 24, e -1\in J porque -1\mid 24. Se J fosse fechado por adição (propriedade necessária de um ideal), deveríamos ter
1 + (-1) = 0 \in J.
Mas já vimos que 0\notin J. Logo J não é fechado por adição e, portanto, não é ideal.

Passo 5

Comentário didático curto: outra razão intuitiva é que ideais não nulos de \mathbb{Z} têm infinitos elementos (são conjuntos do tipo m\mathbb{Z}, que têm infinitos múltiplos positivos e negativos), enquanto J é finito (tem apenas os divisores de 24). Conjuntos finitos não nulos não podem ser ideais em \mathbb{Z}. Mas a falha já ficou clara ao mostrar que 0\notin J e que a soma de elementos de J pode sair de J.

Resposta

Não. J não é ideal de \mathbb{Z}; portanto não existe inteiro positivo m tal que J=m\mathbb{Z}.

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