Quais dos seguintes conjuntos são ideais de
? Em cada resposta afirmativa, determinar o inteiro positivo
tal que
.
Todos os inteiros
tais que
.
Todos os inteiros
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
isto é, todos os inteiros que dividem
. Explicitamente, a partir da imagem fornecida pela frase, os elementos são
A pergunta é: este conjunto
é um ideal de
? Se for, determinar o inteiro positivo
tal que
.
Passo 2
Vou lembrar qual é a propriedade que um ideal de
deve satisfazer (aqui ensino o básico, passo a passo, como você pediu). Uma subconjunto
é ideal se, e somente se:
-
é não vazio; -
é fechada sob adição: se então ; -
é fechada sob multiplicação por qualquer inteiro: se e então .
Uma consequência imediata dessas propriedades é que todo ideal deve conter
, porque tomando
e qualquer
obtém-se
. Também é útil lembrar (mais adiante) que os ideais de
são exatamente os conjuntos da forma
para algum inteiro
, mas para responder se o conjunto dado é ideal muitas vezes basta verificar as propriedades acima (especialmente a exigência de conter
).
Passo 3
Vou verificar se
. Pela definição de divisibilidade,
significa que existe
tal que
Se tentarmos
isso significaria
, o que é impossível. Portanto
Como expliquei no passo anterior, qualquer ideal de
deve obrigatoriamente conter
. Isso já é um sinal forte de que
não pode ser ideal.
Passo 4
Para reforçar e mostrar de forma bem concreta que
falha numa propriedade de ideal, observe que
porque
, e
porque
. Se
fosse fechado por adição (propriedade necessária de um ideal), deveríamos ter
Mas já vimos que
. Logo
não é fechado por adição e, portanto, não é ideal.
Passo 5
Comentário didático curto: outra razão intuitiva é que ideais não nulos de
têm infinitos elementos (são conjuntos do tipo
, que têm infinitos múltiplos positivos e negativos), enquanto
é finito (tem apenas os divisores de
). Conjuntos finitos não nulos não podem ser ideais em
. Mas a falha já ficou clara ao mostrar que
e que a soma de elementos de
pode sair de
.
Resposta
Não.
não é ideal de
; portanto não existe inteiro positivo
tal que
.