Quais dos seguintes conjuntos são ideais de
? Em cada resposta afirmativa, determinar o inteiro positivo
tal que
.
Todos os inteiros
tais que
e
.
Todos os inteiros
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um ideal de
. Se for ideal, determinar o inteiro positivo
tal que
.
Informações dadas:
A tarefa é: (1) caracterizar os inteiros
que satisfazem essas duas divisibilidades; (2) decidir se o conjunto formado por esses
é um ideal; (3) em caso afirmativo encontrar
com
.
Passo 2
Pegue um elemento arbitrário
. Da condição
existe um inteiro
tal que
Passo 3
Usando
na segunda condição
obtemos
Isso significa que existe um inteiro
com
Dividindo ambos os lados por
temos
ou seja,
Passo 4
Agora raciocinamos sobre a divisibilidade por
. Como
não divide
, para que
divida o produto
é necessário que
divida
. Mas se
é par então
é par (argumento simples: se
fosse ímpar então
seria ímpar, logo não divisível por
). Portanto
é par; existe inteiro
tal que
Passo 5
Substituindo
em
obtemos
Portanto todo
é múltiplo de
, isto é
.
Passo 6
Agora a recíproca: tome
qualquer. Verificamos as duas divisibilidades:
e
logo
. Assim todo múltiplo de
pertence a
, ou seja
.
Passo 7
Com as inclusões das Passos 5 e 6 concluímos que
Passo 8
Qualquer conjunto da forma
(com
) é um ideal de
: é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por elementos de
. Assim
é um ideal de
e o menor inteiro positivo que o gera é
.