Quais dos seguintes conjuntos são ideais de mathbb{Z} ? Em cada resposta afirmativa, determinar o inteiro positivo m tal que J=m \mathbb{Z}.
Todos os inteiros n tais que 6 \mid n e 24 \mid n^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
J=\{\,n\in\mathbb{Z}\mid 6\mid n \text{ e } 24\mid n^{2}\,\}
é um ideal de \mathbb{Z}. Se for ideal, determinar o inteiro positivo m tal que J=m\mathbb{Z}.
Informações dadas:
6\mid n\quad\text{e}\quad 24\mid n^{2}.
A tarefa é: (1) caracterizar os inteiros n que satisfazem essas duas divisibilidades; (2) decidir se o conjunto formado por esses n é um ideal; (3) em caso afirmativo encontrar m com J=m\mathbb{Z}.

Passo 2

Pegue um elemento arbitrário n\in J. Da condição 6\mid n existe um inteiro k tal que
n=6k.

Passo 3

Usando n=6k na segunda condição 24\mid n^{2} obtemos
24\mid 36k^{2}.
Isso significa que existe um inteiro t com
36k^{2}=24t.
Dividindo ambos os lados por 12 temos
3k^{2}=2t,
ou seja,
2\mid 3k^{2}.

Passo 4

Agora raciocinamos sobre a divisibilidade por 2. Como 2 não divide 3, para que 2 divida o produto 3k^{2} é necessário que 2 divida k^{2}. Mas se k^{2} é par então k é par (argumento simples: se k fosse ímpar então k^{2} seria ímpar, logo não divisível por 2). Portanto k é par; existe inteiro t tal que
k=2t.

Passo 5

Substituindo k=2t em n=6k obtemos
n=6\cdot(2t)=12t.
Portanto todo n\in J é múltiplo de 12, isto é J\subseteq 12\mathbb{Z}.

Passo 6

Agora a recíproca: tome n=12t qualquer. Verificamos as duas divisibilidades:
6\mid n\quad\text{(pois \(12t\) é múltiplo de \(6\))},éú
e
n^{2}=(12t)^{2}=144t^{2}=24\cdot(6t^{2}),
logo 24\mid n^{2}. Assim todo múltiplo de 12 pertence a J, ou seja 12\mathbb{Z}\subseteq J.

Passo 7

Com as inclusões das Passos 5 e 6 concluímos que
J=12\mathbb{Z}.

Passo 8

Qualquer conjunto da forma m\mathbb{Z} (com m\ge 0) é um ideal de \mathbb{Z}: é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por elementos de \mathbb{Z}. Assim J é um ideal de \mathbb{Z} e o menor inteiro positivo que o gera é m=12.

Resposta

\,J=12\mathbb{Z}\,
\,m=12\,

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