Questão 02

Duas partículas são mantidas fixas sobre o eixo x. A partícula 1 , de carga -40 \mu \mathrm{C}, encontra-se em x=-2,0 \mathrm{~cm}, e a partícula 2 , de carga +110 \mu \mathrm{C}, em x=3,0 \mathrm{~cm}. Uma terceira partícula, de carga +20 \mu \mathrm{C}, é posicionada em algum ponto do eixo x, próximo às partículas 1 e 2 , de modo a permanecer em equilíbrio.
Com base nessas informações, responda aos itens a seguir.
a) Semelhante à discussão realizada na proposta de leitura indicada, analise em qual ponto a partícula 3 poderia ser colocada para que fique em repouso: à esquerda da partícula 1, entre as partículas 1 e 2 ou à direita da partícula 2 . Para cada caso, explique por que a partícula pode ou não permanecer em equilíbrio nessa posição.
b) A partir da discussão realizada no item anterior, determine a posição no eixo x em que a partícula 3 efetivamente fica em equilíbrio.
c) Este equilíbrio é estável ou instável? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas fixas sobre o eixo x: \displaystyle q_1=-40\\ \mu\mathrm C em x_1=-2{,}0\\ \mathrm{cm} e \displaystyle q_2=+110\\ \mu\mathrm C em x_2=+3{,}0\\ \mathrm{cm}.
Uma terceira carga q_3=+20\\ \mu\mathrm C fica em equilíbrio quando a resultante das forças de Coulomb de q_1 e q_2 sobre ela é zero. Vamos usar a Lei de Coulomb, que diz que a força de q_i sobre q_3 vale
F_{i3}=k\frac{|q_i\,q_3|}{r_{i3}^2}
com direção ao longo do eixo x.

Passo 2

Analisando as regiões onde q_3 pode ser colocada:
  1. Região à esquerda de q_1 x< -2{,}0\\ \mathrm{cm}:
  • q_1 negativa atrai q_3 para a direita.
  • q_2 positiva repele q_3 também para a esquerda (pois q_3 está à esquerda de q_2).
    As forças têm sentidos opostos, logo há chance de se anularem.
  1. Região entre q_1 e q_2 -2{,}0 < x < +3{,}0\\ \mathrm{cm}:
  • q_1 negativa atrai q_3 para a esquerda.
  • q_2 positiva repele q_3 também para a esquerda.
    As forças têm o mesmo sentido, não se anulam, então não há equilíbrio.
  1. Região à direita de q_2 x> +3{,}0\\ \mathrm{cm}:
  • q_1 negativa atrai q_3 para a esquerda.
  • q_2 positiva repele q_3 para a direita.
    As forças têm sentidos opostos, podendo haver equilíbrio.

Passo 3

Para q_3 em x satisfazer F_{13}=F_{23} de módulo, escrevemos (em cm):
\frac{40}{(x+2)^2} \;=\;\frac{110}{(x-3)^2}.
Multiplicando:
4\,(x-3)^2 \;=\;11\,(x+2)^2 \;\Longrightarrow\; 7x^2 +68x +8 =0.
As raízes são
x = \frac{-34\pm 10\sqrt{11}}{7},
ou seja
x_1\approx -9{,}60\\ \mathrm{cm}, \quad x_2\approx -0{,}12\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Verificando as regiões válidas:
  • x_1\approx -9{,}60\\ \mathrm{cm} cai em x< -2\\ \mathrm{cm}, onde as forças são opostas. Válido.
  • x_2\approx -0{,}12\\ \mathrm{cm} cai entre -2 e +3\\ \mathrm{cm}, onde as forças têm o mesmo sentido. Inválido.
    Não há solução em x>+3\\ \mathrm{cm} porque as duas raízes obtidas não caem nessa região.

Passo 5

O equilíbrio em x\approx -9{,}60\\ \mathrm{cm} é instável. Se q_3 for deslocada um pouco para mais à esquerda, a força resultante a empurra ainda mais para longe; se deslocada para a direita, a resultante a afasta para a direita. Não há força restauradora que a traga de volta ao ponto de equilíbrio.

Resposta

a) Em x< -2\\ \mathrm{cm} as forças se opõem (equilíbrio possível); entre -2 e +3\\ \mathrm{cm} atuam no mesmo sentido (sem equilíbrio); em x>+3\\ \mathrm{cm} as forças se opõem (poderia haver equilíbrio).
b) x\approx -9{,}60\\ \mathrm{cm}.
c) O equilíbrio é instável.

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