Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais? Justifique!
e) Os vetores (x, y) tais que x^2+3 x=y^2+3 y.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto
(x,y)inR^2mid x^2+3x=y^2+3y
é um subespaço vetorial de R^2. Para isso, vamos usar os três critérios:
  1. conter o vetor nulo;
  2. ser fechado sob soma;
  3. ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Reescrevemos a condição
x^2+3x=y^2+3y
como
x^2-y^2+3(x-y)=0
e fatoramos:
(x-y)(x+y+3)=0
Logo o conjunto é a união de duas retas:
;L1:;x-y=0
e
;L2:;x+y+3=0

Passo 3

Verificamos o vetor nulo (0,0). Em L1 temos 0-0=0, logo (0,0)in L1subset S. O nulo está no conjunto, então o primeiro critério está OK.

Passo 4

Para testar fechamento sob soma, escolhemos um vetor em cada reta e somamos:
  • Em L1 tome v=(1,1), pois 1-1=0.
  • Em L2 tome w=(0,-3), pois 0+(-3)+3=0.
    Então
v+w=(1,1)+(0,-3)=(1,-2)
Verificamos se (1,-2) atende a x^2+3x=y^2+3y:
1^2+3cdot1=4,(-2)^2+3cdot(-2)=4-6=-2,
e 4neq -2. Assim v+wnotin S, ou seja, não há fechamento sob soma.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial, pois falha no fechamento sob adição.

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