Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais? Justifique!
e) Os vetores
tais que
.
e) Os vetores
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o conjunto
é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar os três critérios:
é um subespaço vetorial de
- conter o vetor nulo;
- ser fechado sob soma;
- ser fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Reescrevemos a condição
como
e fatoramos:
Logo o conjunto é a união de duas retas:
e
e
Passo 3
Verificamos o vetor nulo
. Em
temos
, logo
. O nulo está no conjunto, então o primeiro critério está OK.
Passo 4
Para testar fechamento sob soma, escolhemos um vetor em cada reta e somamos:
- Em
tome , pois . - Em
tome , pois .
Então
Verificamos se
atende a
:
e
. Assim
, ou seja, não há fechamento sob soma.
Resposta
O conjunto não é um subespaço vetorial, pois falha no fechamento sob adição.