Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais? Justifique!
f) As funções f in C^infty(R) tais que f^prime prime-2 f^prime+f=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
V = l,fin C^infty(R) mid f''-2f'+f=0r
é um subespaço vetorial de C^infty(R). Aqui o conteúdo é reconhecer que a equação diferencial linear homogênea define um operador linear e que o seu núcleo é subespaço.

Passo 2

Mostramos que o conjunto não é vazio: a função nula ,f(x)=0 satisfaz
f''-2f'+f = 0 - 0 + 0 = 0,
logo 0in V.

Passo 3

Verificamos a fechadura na soma. Se f,gin V, então
(f+g)'' -2(f+g)' + (f+g) = (f''-2f'+f) + (g''-2g'+g) = 0 + 0 = 0
Portanto f+gin V.

Passo 4

Verificamos a fechadura na multiplicação por escalar. Se fin V e alphainR, então
(alpha f)'' -2(alpha f)' + (alpha f) = alpha,(f''-2f'+f) = alphacdot 0 = 0,
logo alpha fin V.

Passo 5

Concluímos que V é subespaço vetorial. Opcionalmente, resolvendo a equação característica
r^2 - 2r + 1 = (r-1)^2 = 0
obtemos a solução geral
f(x) = (C1 + C2,x)e^x,
mostrando que V tem dimensão 2 com base, por exemplo, e^x,;x e^x.

Resposta

O conjunto das soluções de f''-2f'+f=0 é sim um subespaço vetorial de C^infty(R), de dimensão 2, com base e^x,;x e^x.

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