Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais? Justifique!
f) As funções
tais que
.
f) As funções
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Aqui o conteúdo é reconhecer que a equação diferencial linear homogênea define um operador linear e que o seu núcleo é subespaço.
Passo 2
Mostramos que o conjunto não é vazio: a função nula
satisfaz
logo
.
Passo 3
Verificamos a fechadura na soma. Se
, então
Portanto
.
Passo 4
Verificamos a fechadura na multiplicação por escalar. Se
e
, então
logo
.
Passo 5
Concluímos que
é subespaço vetorial. Opcionalmente, resolvendo a equação característica
obtemos a solução geral
mostrando que
tem dimensão 2 com base, por exemplo,
.
Resposta
O conjunto das soluções de
é sim um subespaço vetorial de
, de dimensão 2, com base
.