Sejam
vetores L.I. em um espaço vetorial
. Mostre que os vetores
não podem gerar
.
Passo 1
O enunciado diz que os vetores
são linearmente independentes em
. Queremos mostrar que o conjunto
não pode gerar
. Vamos usar:
– Definição de conjunto gerador (span): dizer que gera
significa que todo
pode ser escrito como combinação linear
– Definição de conjunto gerador (span): dizer que
– Definição de independência linear:
é L.I. se
Passo 2
Suponha, por contradição, que
gera
. Então em particular
pode ser escrito como
para certos escalares
.
Passo 3
Reescrevendo, obtemos a relação linear
Aqui o coeficiente de
é
, logo não é a combinação trivial. Isso contraria a independência de
.
Resposta
Logo, por contradição, o conjunto
não pode gerar
.