Sejam v1, cdots, vn vetores L.I. em um espaço vetorial V. Mostre que os vetores v2, cdots, vn não podem gerar V.

Passo 1

O enunciado diz que os vetores ,v1,dots,vn são linearmente independentes em V. Queremos mostrar que o conjunto v2,dots,vn não pode gerar V. Vamos usar:
– Definição de conjunto gerador (span): dizer que v2,dots,vn gera V significa que todo vin V pode ser escrito como combinação linear
v = sumi=2^n alphai,vi
– Definição de independência linear: v1,dots,vn é L.I. se
sumi=1^n betai,vi = 0 Longrightarrow beta1=cdots=betan=0

Passo 2

Suponha, por contradição, que v2,dots,vn gera V. Então em particular v1in V pode ser escrito como
v1 = sumi=2^n alphai,vi
para certos escalares alpha2,dots,alphan.

Passo 3

Reescrevendo, obtemos a relação linear
0 = v1 - sumi=2^n alphai,vi = (-1),v1 + sumi=2^n l(alphair),vi
Aqui o coeficiente de v1 é -1neq 0, logo não é a combinação trivial. Isso contraria a independência de v1,dots,vn.

Resposta

Logo, por contradição, o conjunto v2,dots,vn não pode gerar V.

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