Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços do R^3.
W=(x, y, z) in R^3 ; x-3 z=0

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W = (x,y,z)in R^3 mid x - 3z = 0
e pergunta se ele é subespaço de R^3. Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço: verificar que W contém o vetor zero, que é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar se 0=(0,0,0) pertence a W. Substituindo,
0 - 3cdot 0 = 0,
portanto 0in W.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma. Tomemos (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) em W, ou seja,
x1 - 3z1 = 0, x2 - 3z2 = 0
Então a soma é (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) e
(x1+x2) - 3(z1+z2) = (x1 -3z1)+(x2 -3z2) = 0+0 =0,
logo a soma está em W.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação escalar. Seja (x,y,z)in W e cinR. Como x-3z=0, temos
c,(x,y,z) = (cx,;cy,;cz),
e
cx - 3(cz) = c,(x-3z) = ccdot 0 = 0,
portanto c,(x,y,z)in W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de R^3. Além disso, W é exatamente o núcleo da aplicação linear f(x,y,z)=x-3z.

Resposta

W é subespaço de R^3.

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