Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaços do
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pergunta se ele é subespaço de
. Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço: verificar que
contém o vetor zero, que é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificar se
pertence a
. Substituindo,
portanto
.
Passo 3
Verificar fechamento sob soma. Tomemos
e
em
, ou seja,
Então a soma é
e
logo a soma está em
.
Passo 4
Verificar fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
. Como
, temos
e
portanto
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
. Além disso,
é exatamente o núcleo da aplicação linear
.