Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaços do
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se
é subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto de espaço vetorial deve (i) conter o vetor zero, (ii) ser fechado sob soma de vetores e (iii) ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
está em
. Como
, temos
. Então a condição (i) está satisfeita.
Passo 3
Verificamos a adição: sejam
e
em
. Então
e
são inteiros. A soma é
Como a soma de inteiros
, segue
. Logo
é fechado sob soma.
Passo 4
Verificamos a multiplicação por escalar: seja
e
com
. Então
Para que
é necessário
para qualquer real
. Mas se, por exemplo,
e
, então
. Logo
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Como
falha na condição de fechamento sob multiplicação por escalar, concluímos que
não é subespaço vetorial de
.