Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços do R^3.
W=(x, y, z) in R^3 ; x in Z

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z)in R^3 mid xin Z
e pede para verificar se W é subespaço vetorial de R^3. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto de espaço vetorial deve (i) conter o vetor zero, (ii) ser fechado sob soma de vetores e (iii) ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) está em W. Como 0in Z, temos (0,0,0)in W. Então a condição (i) está satisfeita.

Passo 3

Verificamos a adição: sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em W. Então x1 e x2 são inteiros. A soma é
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
Como a soma de inteiros ,x1+x2in Z, segue u+vin W. Logo W é fechado sob soma.

Passo 4

Verificamos a multiplicação por escalar: seja alphain R e u=(x,y,z)in W com xin Z. Então
alpha,u = (alpha x,;alpha y,;alpha z)
Para que alpha,uin W é necessário alpha xin Z para qualquer real alpha. Mas se, por exemplo, x=1 e alpha=tfrac12, então alpha x = tfrac12notin Z. Logo W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como W falha na condição de fechamento sob multiplicação por escalar, concluímos que W não é subespaço vetorial de R^3.

Resposta

W não é subespaço de R^3.

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