Para as seguintes curvas dadas na forma paramétrica, calcule seu comprimento de arco.
Questão 9.
lx=a cos (t) y=a sen(t), t in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x = acos(t), y = asin(t),
com tin[0,2pi], e pede o comprimento de arco dessa curva. O conteúdo da matéria é comprimento de arco de curva no plano, e vamos precisar da fórmula que envolve as derivadas de x(t) e y(t).

Passo 2

Para uma curva paramétrica l(x(t),y(t)r) em tin[alpha,beta], o comprimento de arco L é dado por
L = integralalpha^beta raizl(x'(t)r)^2 + l(y'(t)r)^2,dt

Passo 3

Calculamos as derivadas de x(t) e y(t):
x'(t) = ddtl(acos(t)r) = -asin(t),
y'(t) = ddtl(asin(t)r) = acos(t)

Passo 4

O integrando fica
raizl(x'(t)r)^2 + l(y'(t)r)^2 = raiz(-asin(t))^2 + (acos(t))^2 = raiza^2sin^2(t) + a^2cos^2(t) = raiza^2(sin^2(t)+cos^2(t)) = a

Passo 5

Substituindo na integral de t=0 até t=2pi:
L = integral0^2pi a,dt = al[tr]0^2pi = a,(2pi - 0) = 2pi a

Resposta

L = 2pi a

Exercícios relacionados