Os seguintes dados foram obtidos na calibração do sinal analítico de um dado método instrumental de análise para determinação de uma espécie X em solução aquosa:
Padrão Cx(ppm) Sinal
1 2,0 0,142
2 6,0 0,391
3 10,0 0,671
4 14,0 0,925
5 18,0 1,217
Pede-se: sabendo-se que na análise de uma solução de concentração desconhecida de X foi obtida uma leitura de sinal igual a 0,710, calcular a concentração de X nesta solução.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um conjunto de padrões onde medimos o sinal (resposta do instrumento) pra cada concentração de uma substância X em ppm. O objetivo é montar uma reta de calibração (conteúdo: regressão linear simples ou método dos mínimos quadrados) e, a partir dela, descobrir qual concentração de X dá sinal = 0,710.
O que vamos precisar:
  • Entender que o sinal e a concentração devem se relacionar por uma reta S = a,C + b.
  • Calcular o coeficiente angular a e o intercepto b usando fórmula de mínimos quadrados.
  • Inverter a equação pra achar C quando S=0,710.

Passo 2

Antes de começar a conta, um pouquinho de teoria:
  1. A gente supõe que existe uma relação linear entre concentração C e sinal S, ou seja
S = a,C + b
onde a é a inclinação (quanto o sinal muda quando a concentração aumenta) e b é o sinal quando C=0.
2) Pelo método dos mínimos quadrados, as fórmulas são:
a = sumi (Ci - overline C)(Si - overline S)sumi (Ci - overline C)^2 , b = overline S - a,overline C
  1. Aqui overline C e overline S são as médias das concentrações e dos sinais dos padrões.

Passo 3

Vamos calcular passo a passo:
  1. Médias
$$\overline C = \frac{2+6+10+14+18}{5} = 10\quad,\quad
\overline S = \frac{0{,}142 + 0{,}391 + 0{,}671 + 0{,}925 + 1{,}217}{5} = 0{,}6692 overline C = 2+6+10+14+185 = 10, overline S = 0,142 + 0,391 + 0,671 + 0,925 + 1,2175 = 0,6692\sum (C_i-\overline C)(S_i-\overline S) = 10{,}736$$
e
sum (Ci-overline C)(Si-overline S) = 10,736
3) Aí vem a inclinação
sum (Ci-overline C)^2 = 160
e o intercepto
a = 10,736160 = 0,0671
Logo, a reta de calibração é
b = overline S - a,overline C = 0,6692 - 0,0671times10 = -0,0018

Passo 4

Agora invertemos pra achar C quando S=0,710:
0,710 = 0,0671,C - 0,0018 Longrightarrow C = 0,710 + 0,00180,0671 = 0,71180,0671 approx 10,6 ppm

Resposta

A concentração de X na amostra desconhecida é aproximadamente 10,6 ppm.

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