Um cultivo em batelada para a produção de etanol por Zymomonas mobilis a 30^{\circ} \mathrm{C} e pH 5,5 gerou os seguintes resultados:
t (h) Cs (g/L) Cx (g/L) Cp (g/L)
0 156,0 0,02 0,0
3 151,1 0,02 1,9
6 137,5 0,04 1,8
9 114,1 0,06 10,8
12 90,0 0,11 21,4
15 66,2 0,24 34,4
18 26,1 0,62 53,2
21 0,4 0,79 64,7
Pede-se: a) obtenha a velocidade específica máxima de crescimento celular (μmax); b) estime os coeficientes de rendimento de substrato a células (YX/S) e a produto (YP/S); c) calcule o tempo de duplicação (td ), d) avaliar se a formação do produto é associada, não associada ou parcialmente associada ao crescimento.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (extraídos da tabela):
  • Tempos t em horas: 0,\\\ 3,\\\ 6,\\\ 9,\\\ 12,\\\ 15,\\\ 18,\\\ 21.
  • Concentração de substrato (açúcar) C_s em \mathrm{g/L}: 156,0,\\\ 151,1,\\\ 137,5,\\\ 114,1,\\\ 90,0,\\\ 66,2,\\\ 26,1,\\\ 0,4.
  • Concentração de biomassa C_x em \mathrm{g/L}: 0,02,\\\ 0,02,\\\ 0,04,\\\ 0,06,\\\ 0,11,\\\ 0,24,\\\ 0,62,\\\ 0,79.
  • Concentração de produto (etanol) C_p em \mathrm{g/L}: 0,0,\\\ 1,9,\\\ 1,8,\\\ 10,8,\\\ 21,4,\\\ 34,4,\\\ 53,2,\\\ 64,7.
O enunciado pede:
(a) obter a velocidade específica máxima de crescimento celular \mu_{\max};
(b) estimar os coeficientes de rendimento Y_{X/S} (biomassa por substrato) e Y_{P/S} (produto por substrato);
(c) calcular o tempo de duplicação t_d;
(d) avaliar se a formação do produto é associada, não associada ou parcialmente associada ao crescimento.

Passo 2

Explicação do método para encontrar \mu_{\max} e aplicação aos dados.
Teoria rápida e intuitiva (sem jargão): durante a fase exponencial de crescimento a biomassa cresce segundo a lei
C_x(t)=C_{x,0}\,e^{\mu t},
onde C_x(t) é a concentração de biomassa no tempo t, C_{x,0} é a biomassa inicial no início da fase exponencial e \mu é a velocidade específica de crescimento (unidade: \mathrm{h^{-1}}). Tomando logaritmo natural fica uma reta:
\ln C_x(t)=\ln C_{x,0}+\mu t.
Assim, \mu é o coeficiente angular da reta no gráfico \ln C_x vs t. Na prática escolhe-se a região que parece exponencial (onde \ln C_x vs t é aproximadamente linear) e faz-se um ajuste linear (regressão) ou calcula-se a inclinação entre pontos dessa região.
Aplicação prática aos dados:
  • Observando C_x percebe-se que o crescimento efetivo começa em torno de t=6\\ \mathrm{h} e vai até pelo menos t=18\\ \mathrm{h}. Vou usar os pontos t=6,9,12,15,18 para ajustar uma reta (regressão linear por mínimos quadrados) em \ln C_x vs t — isso reduz ruído de ponto a ponto e dá uma estimativa robusta de \mu.
Calculei os valores \ln C_x para esses pontos:
\begin{array}{c|c} t\\ (\mathrm{h}) & \ln C_x\\ (\text{com }C_x\\ \text{em g/L})\\hline 6 & \ln(0,04)=-3,218876\\\\ 9 & \ln(0,06)=-2,813411\\\\ 12 & \ln(0,11)=-2,207275\\\\ 15 & \ln(0,24)=-1,427116\\\\ 18 & \ln(0,62)=-0,478036 \end{array}
Para a regressão linear por mínimos quadrados com N=5 pontos uso as somas:
\begin{aligned} \sum t &= 60,\\\ \sum t^2 &= 810,\\\ \sum \ln C_x &= -10,144714,\\\ \sum t\ln C_x &= -101,132643. \end{aligned}
A inclinação (que é \mu) é
\mu=\frac{N\sum t\ln C_x - (\sum t)(\sum \ln C_x)}{N\sum t^2 - (\sum t)^2} =\frac{5(-101,132643)-60(-10,144714)}{5\cdot810-60^2}.
Calculando:
\mu=\frac{-505,663215+608,68284}{4050-3600}=\frac{103,019625}{450}=0,228933\\ \mathrm{h^{-1}}.
Interpretação: a velocidade específica média durante a fase exponencial estimada por ajuste é
\mu_{\max}\approx 0,229\\ \mathrm{h^{-1}}.
Observação prática: também é possível estimar \mu por inclinação entre dois pontos próximos dentro da fase exponencial; o ajuste por mínimos quadrados usa vários pontos e é mais robusto contra ruído.

Passo 3

Cálculo do tempo de duplicação t_d.
Teoria curta: tempo de duplicação (tempo para biomassa dobrar durante crescimento exponencial) é dado por
t_d=\frac{\ln 2}{\mu}.
Substituindo \mu=\,0,228933\\ \mathrm{h^{-1}}:
t_d=\frac{\ln 2}{0,228933}=\frac{0,693147}{0,228933}\approx 3,03\\ \mathrm{h}.

Passo 4

Cálculo dos coeficientes de rendimento Y_{X/S} e Y_{P/S}.
Definição prática que usaremos: rendimento global ao longo do cultivo (variação total) é
Y_{X/S}=\frac{\Delta C_x}{\Delta C_s},\qquad Y_{P/S}=\frac{\Delta C_p}{\Delta C_s},
onde \Delta C_x=C_{x,\text{final}}-C_{x,\text{inicial}}, etc.
Valores finais e iniciais (da tabela):
C_{s,0}=156,0\\ \mathrm{g/L},\quad C_{s,f}=0,4\\ \mathrm{g/L},
C_{x,0}=0,02\\ \mathrm{g/L},\quad C_{x,f}=0,79\\ \mathrm{g/L},
C_{p,0}=0,0\\ \mathrm{g/L},\quad C_{p,f}=64,7\\ \mathrm{g/L}.
Conveniências:
\Delta C_s=156,0-0,4=155,6\\ \mathrm{g/L},
\Delta C_x=0,79-0,02=0,77\\ \mathrm{g/L},
\Delta C_p=64,7-0=64,7\\ \mathrm{g/L}.
Agora os rendimentos:
Y_{X/S}=\frac{0,77}{155,6}\approx 0,00495\\ \frac{\mathrm{g\;biomassa}}{\mathrm{g\;substrato}}.
Y_{P/S}=\frac{64,7}{155,6}\approx 0,416\\ \frac{\mathrm{g\;produto}}{\mathrm{g\;substrato}}.
Para referência rápida também posso dar o rendimento produto/biomassa:
Y_{P/X}=\frac{\Delta C_p}{\Delta C_x}=\frac{64,7}{0,77}\approx 84,03\\ \frac{\mathrm{g\;produto}}{\mathrm{g\;biomassa}}.

Passo 5

Avaliação se a formação do produto é associada, não associada ou parcialmente associada ao crescimento.
Critério didático e prático:
  • Se a produção de P ocorre estritamente enquanto X cresce e a razão instantânea q_P/q_X é proporcional a \mu (ou se Y_{P/X} é aproximadamente constante durante a fase exponencial), diz-se que o produto é growth-associated (associado ao crescimento).
  • Se P é formado independentemente do crescimento (por exemplo cresce quando X é praticamente constante), é non-associated.
  • Se há componentes de ambos os tipos (parte produzida enquanto cresce e parte produzida sem crescimento), diz-se parcialmente associado.
Análise dos dados:
  • Observa-se que C_p aumenta continuamente ao longo do tempo e a maior parte do etanol é formada enquanto C_x também aumenta (daí Y_{P/X} global elevado, \approx 84\\ \mathrm{g/g}). Isso sugere forte componente associado ao crescimento.
  • Contudo há indícios de produção de produto em instantes com pouco ou nenhum aumento de biomassa: por exemplo entre t=0 e t=3\\ \mathrm{h} a biomassa praticamente não muda ( 0,02 para 0,02) enquanto já aparece 1,9\\ \mathrm{g/L} de produto — isso indica alguma produção não ligada ao aumento de X (pelo menos no início).
  • Avaliando Y_{P/X} por intervalos (valores variam: muito altos nos intervalos iniciais onde \Delta X é pequeno, e tendem a estabilizar em valores menores nas fases intermediárias/tardias), nota-se que Y_{P/X} não é estritamente constante ao longo de todo o cultivo, mas na fase principal de crescimento há uma relação próxima entre aumento de P e aumento de X.
Conclusão interpretativa com base nos dados: a produção de etanol é predominantemente associada ao crescimento (a maior parte do etanol é formada durante a fase de crescimento), porém existem evidências de produção em momentos com pouco crescimento (início do cultivo e pequenos desvios pontuais). Portanto a formação do produto é melhor classificada como
\text{parcialmente associada ao crescimento}.

Resposta

(a) \mu_{\max}\approx 0,229\\ \mathrm{h^{-1}}
(b) Y_{X/S}\approx 0,00495\\ \mathrm{g_{X}/g_{S}} \
\quad Y_{P/S}\approx 0,416\\ \mathrm{g_{P}/g_{S}}
(c) t_d\approx 3,03\\ \mathrm{h}
(d) Parcialmente associada ao crescimento (predominantemente associada, com componente não associada em alguns instantes)

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