Um cultivo em batelada para a produção de etanol por Zymomonas mobilis a
e pH 5,5 gerou os seguintes resultados:
t (h)
Cs (g/L)
Cx (g/L)
Cp (g/L)
0
156,0
0,02
0,0
3
151,1
0,02
1,9
6
137,5
0,04
1,8
9
114,1
0,06
10,8
12
90,0
0,11
21,4
15
66,2
0,24
34,4
18
26,1
0,62
53,2
21
0,4
0,79
64,7
Pede-se: a) obtenha a velocidade específica máxima de crescimento celular (μmax); b) estime os coeficientes de rendimento de substrato a células (YX/S) e a produto (YP/S); c) calcule o tempo de duplicação (td ), d) avaliar se a formação do produto é associada, não associada ou parcialmente associada ao crescimento.
| t (h) | Cs (g/L) | Cx (g/L) | Cp (g/L) |
| 0 | 156,0 | 0,02 | 0,0 |
| 3 | 151,1 | 0,02 | 1,9 |
| 6 | 137,5 | 0,04 | 1,8 |
| 9 | 114,1 | 0,06 | 10,8 |
| 12 | 90,0 | 0,11 | 21,4 |
| 15 | 66,2 | 0,24 | 34,4 |
| 18 | 26,1 | 0,62 | 53,2 |
| 21 | 0,4 | 0,79 | 64,7 |
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (extraídos da tabela):
- Tempos
em horas: . - Concentração de substrato (açúcar)
em : . - Concentração de biomassa
em : . - Concentração de produto (etanol)
em : .
O enunciado pede:
(a) obter a velocidade específica máxima de crescimento celular ;
(b) estimar os coeficientes de rendimento (biomassa por substrato) e
(produto por substrato);
(c) calcular o tempo de duplicação ;
(d) avaliar se a formação do produto é associada, não associada ou parcialmente associada ao crescimento.
(a) obter a velocidade específica máxima de crescimento celular
(b) estimar os coeficientes de rendimento
(c) calcular o tempo de duplicação
(d) avaliar se a formação do produto é associada, não associada ou parcialmente associada ao crescimento.
Passo 2
Explicação do método para encontrar
e aplicação aos dados.
Teoria rápida e intuitiva (sem jargão): durante a fase exponencial de crescimento a biomassa cresce segundo a lei
onde
é a concentração de biomassa no tempo
,
é a biomassa inicial no início da fase exponencial e
é a velocidade específica de crescimento (unidade:
). Tomando logaritmo natural fica uma reta:
Assim,
é o coeficiente angular da reta no gráfico
vs
. Na prática escolhe-se a região que parece exponencial (onde
vs
é aproximadamente linear) e faz-se um ajuste linear (regressão) ou calcula-se a inclinação entre pontos dessa região.
Aplicação prática aos dados:
- Observando
percebe-se que o crescimento efetivo começa em torno de e vai até pelo menos . Vou usar os pontos para ajustar uma reta (regressão linear por mínimos quadrados) em vs — isso reduz ruído de ponto a ponto e dá uma estimativa robusta de .
Calculei os valores
para esses pontos:
Para a regressão linear por mínimos quadrados com
pontos uso as somas:
A inclinação (que é
) é
Calculando:
Interpretação: a velocidade específica média durante a fase exponencial estimada por ajuste é
Observação prática: também é possível estimar
por inclinação entre dois pontos próximos dentro da fase exponencial; o ajuste por mínimos quadrados usa vários pontos e é mais robusto contra ruído.
Passo 3
Cálculo do tempo de duplicação
.
Teoria curta: tempo de duplicação (tempo para biomassa dobrar durante crescimento exponencial) é dado por
Substituindo
:
Passo 4
Cálculo dos coeficientes de rendimento
e
.
Definição prática que usaremos: rendimento global ao longo do cultivo (variação total) é
onde
, etc.
Valores finais e iniciais (da tabela):
Conveniências:
Agora os rendimentos:
Para referência rápida também posso dar o rendimento produto/biomassa:
Passo 5
Avaliação se a formação do produto é associada, não associada ou parcialmente associada ao crescimento.
Critério didático e prático:
- Se a produção de
ocorre estritamente enquanto cresce e a razão instantânea é proporcional a (ou se é aproximadamente constante durante a fase exponencial), diz-se que o produto é growth-associated (associado ao crescimento). - Se
é formado independentemente do crescimento (por exemplo cresce quando é praticamente constante), é non-associated. - Se há componentes de ambos os tipos (parte produzida enquanto cresce e parte produzida sem crescimento), diz-se parcialmente associado.
Análise dos dados:
- Observa-se que
aumenta continuamente ao longo do tempo e a maior parte do etanol é formada enquanto também aumenta (daí global elevado, ). Isso sugere forte componente associado ao crescimento. - Contudo há indícios de produção de produto em instantes com pouco ou nenhum aumento de biomassa: por exemplo entre
e a biomassa praticamente não muda ( para ) enquanto já aparece de produto — isso indica alguma produção não ligada ao aumento de (pelo menos no início). - Avaliando
por intervalos (valores variam: muito altos nos intervalos iniciais onde é pequeno, e tendem a estabilizar em valores menores nas fases intermediárias/tardias), nota-se que não é estritamente constante ao longo de todo o cultivo, mas na fase principal de crescimento há uma relação próxima entre aumento de e aumento de .
Conclusão interpretativa com base nos dados: a produção de etanol é predominantemente associada ao crescimento (a maior parte do etanol é formada durante a fase de crescimento), porém existem evidências de produção em momentos com pouco crescimento (início do cultivo e pequenos desvios pontuais). Portanto a formação do produto é melhor classificada como
Resposta
(a)
(b)
\
(c)
(d) Parcialmente associada ao crescimento (predominantemente associada, com componente não associada em alguns instantes)