As seguintes derivadas devem ser feitas pela definição
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
usando a definição da derivada. Informação relevante fornecida:
Devemos usar a definição da derivada em um ponto
:
Observação importante (dados do enunciado): a função
só está definida quando
(ou seja,
,
). Não começamos a resolver aqui, só organizamos o que foi pedido e as condições.
Passo 2
Escrevo a definição aplicada a
. Substituindo
na fórmula da derivada:
Agora usamos a identidade
para escrever cada termo como razão de senos.
Passo 3
Rewrite com seno no numerador/denominador:
Coloco as duas frações sobre um único denominador (somando as frações):
Portanto
Passo 4
Agora vamos manipular o numerador
. Usamos a identidade de soma/diferença para senos:
mas aplicando com
e
dá (observa que
):
Coloco isso na expressão de
:
Passo 5
Agora vamos isolar o termo com
pequeno para usar o limite fundamental
. Note que podemos escrever
como
. Substituindo:
Simplifico o fator envolvendo
:
. Assim
Passo 6
Agora aplico os limites termo a termo (produtos e limites conhecidos). Temos:
-
(limite trig fundamental para ângulo pequeno). -
(continuidade do cosseno). -
(continuidade do seno).
Aplicando esses limites na expressão do passo anterior:
Passo 7
Interpreto o resultado usando as funções recíprocas para deixar numa forma clássica. Como
e
, podemos escrever
Passo 8
Discutindo domínio e conclusão final: a derivada via definição foi feita assumindo que
para que
e
nas expressões estejam definidas no entorno. Portanto a fórmula vale para
,
.