As seguintes derivadas devem ser feitas pela definição
y=\csc x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de y=\csc x usando a definição da derivada. Informação relevante fornecida:
y=\csc x=\frac{1}{\sin x}.
Devemos usar a definição da derivada em um ponto x:
y'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.
Observação importante (dados do enunciado): a função \csc x só está definida quando \sin x\neq 0 (ou seja, x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}). Não começamos a resolver aqui, só organizamos o que foi pedido e as condições.

Passo 2

Escrevo a definição aplicada a y=\csc x. Substituindo y(x)=\csc x na fórmula da derivada:
y'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\csc(x+h)-\csc x}{h}.
Agora usamos a identidade \csc u=\dfrac{1}{\sin u} para escrever cada termo como razão de senos.

Passo 3

Rewrite com seno no numerador/denominador:
y'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\dfrac{1}{\sin(x+h)}-\dfrac{1}{\sin x}}{h}.
Coloco as duas frações sobre um único denominador (somando as frações):
\frac{1}{\sin(x+h)}-\frac{1}{\sin x}=\frac{\sin x-\sin(x+h)}{\sin x\sin(x+h)}.
Portanto
y'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\sin x-\sin(x+h)}{h\,\sin x\,\sin(x+h)}.

Passo 4

Agora vamos manipular o numerador \sin x-\sin(x+h). Usamos a identidade de soma/diferença para senos:
\sin A-\sin B = 2\cos\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\!\left(\frac{A-B}{2}\right),
mas aplicando com A=x e B=x+h dá (observa que A-B=-h):
\sin x-\sin(x+h)=-2\cos\!\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\!\left(\frac{h}{2}\right).
Coloco isso na expressão de y'(x):
y'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{-2\cos\!\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\sin\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{h\,\sin x\,\sin(x+h)}.

Passo 5

Agora vamos isolar o termo com h pequeno para usar o limite fundamental \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Note que podemos escrever \sin\!\left(\dfrac{h}{2}\right) como \dfrac{h}{2}\cdot\frac{\sin(h/2)}{h/2}. Substituindo:
y'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{-2\cos\!\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\left(\dfrac{h}{2}\right)\dfrac{\sin(h/2)}{h/2}}{h\,\sin x\,\sin(x+h)}.
Simplifico o fator envolvendo h: -2\cdot\dfrac{h}{2}/h = -1. Assim
y'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{-\cos\!\left(x+\dfrac{h}{2}\right)}{\sin x\,\sin(x+h)}\cdot\frac{\sin(h/2)}{h/2}.

Passo 6

Agora aplico os limites termo a termo (produtos e limites conhecidos). Temos:
  • \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h/2)}{h/2}=1 (limite trig fundamental para ângulo pequeno).
  • \displaystyle \lim_{h\to 0}\cos\!\left(x+\dfrac{h}{2}\right)=\cos x (continuidade do cosseno).
  • \displaystyle \lim_{h\to 0}\sin(x+h)=\sin x (continuidade do seno).
    Aplicando esses limites na expressão do passo anterior:
y'(x)=-\frac{\cos x}{\sin x\cdot \sin x}=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}.

Passo 7

Interpreto o resultado usando as funções recíprocas para deixar numa forma clássica. Como \csc x=\dfrac{1}{\sin x} e \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, podemos escrever
-\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\left(\frac{1}{\sin x}\right)\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) = -\csc x\cot x.

Passo 8

Discutindo domínio e conclusão final: a derivada via definição foi feita assumindo que \sin x\neq 0 para que \csc x e \sin(x+h) nas expressões estejam definidas no entorno. Portanto a fórmula vale para x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\displaystyle y'=-\csc x\,\cot x,\quad x\neq k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}

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