As seguintes derivadas devem ser feitas pela definição
y=\sqrt{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função \displaystyle y=\sqrt{x} usando a definição (ou seja, pelo limite do quociente incremental).
Informações dadas e observações imediatas: a função está definida para \displaystyle x\ge 0. Vamos primeiro calcular a derivada num ponto genérico \displaystyle x>0 (onde podemos aproximar por h positivo e negativo) e depois tratar o caso \displaystyle x=0 separadamente, porque aí a raiz exige \displaystyle x+h\ge 0.

Passo 2

Lembrete didático da definição de derivada (a “aula” rápida): a derivada de uma função f em um ponto \displaystyle a é
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
quando esse limite existe. Aqui h é um incremento pequeno na variável independente; a expressão dentro do limite é chamada de quociente incremental e representa a “inclinação média” entre os pontos (a,f(a)) e (a+h,f(a+h)). Quando esse quociente tem limite finito quando h\to0, chamamos esse limite de derivada (inclinação instantânea).

Passo 3

Aplicando a definição à nossa função f(x)=\sqrt{x} num ponto genérico \displaystyle x>0:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}.
Observação: para que \sqrt{x+h} esteja definida para h próximos de zero precisamos de \displaystyle x+h\ge 0. Se \displaystyle x>0 existe um intervalo em torno de zero onde isso vale para h positivos e negativos; se \displaystyle x=0 só podemos permitir h\ge 0. Por isso tratamos \displaystyle x>0 primeiro.

Passo 4

Esse limite tem uma forma indeterminada \displaystyle 0/0 quando h\to0. Um truque clássico é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar as raízes. Multiplicamos por \displaystyle \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}. Fazendo a conta passo a passo:
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} =\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}.
No numerador usamos a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Assim:
(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})=(x+h)-x=h.
Portanto o quociente se simplifica para
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}},
sempre que h\neq 0.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando h\to0. Note que a função \sqrt{\cdot} é contínua em \displaystyle (0,\infty), então \displaystyle \sqrt{x+h}\to\sqrt{x} quando h\to0. Assim
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Explicando: o denominador tende a \displaystyle 2\sqrt{x}, que é diferente de zero para \displaystyle x>0, então o limite é simplesmente o inverso desse valor.

Passo 6

Interpretação e conclusão para \displaystyle x>0: a derivada de \displaystyle y=\sqrt{x} em qualquer ponto positivo é
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\qquad(x>0).
Isso significa que a inclinação da reta tangente em (x,\sqrt{x}) é \displaystyle 1/(2\sqrt{x}). Um exemplo numérico rápido para fixar: em x=4 temos \displaystyle f'(4)=1/(2\cdot 2)=\tfrac14.

Passo 7

Tratamento do caso \displaystyle x=0: calculemos o quociente incremental a partir de zero. Como \sqrt{x+h} só faz sentido real para h\ge 0, só podemos considerar o limite à direita:
\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}\quad(h>0).
Tomando h\to0^+ obtemos
\lim_{h\to0^+}\frac{1}{\sqrt{h}}=+\infty,
ou seja, o quociente incremental cresce sem limite quando h se aproxima de zero por valores positivos. Não existe limite finito; e para h<0 a expressão nem é real. Portanto a derivada em \displaystyle x=0 não existe (às vezes se diz que a tangente é “vertical” aí).

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} para \displaystyle x>0.
A derivada em \displaystyle x=0 não existe (o quociente incremental diverge para +\infty).

Exercícios relacionados