As seguintes derivadas devem ser feitas pela definição
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
usando a definição (ou seja, pelo limite do quociente incremental).
Informações dadas e observações imediatas: a função está definida para . Vamos primeiro calcular a derivada num ponto genérico
(onde podemos aproximar por
positivo e negativo) e depois tratar o caso
separadamente, porque aí a raiz exige
.
Informações dadas e observações imediatas: a função está definida para
Passo 2
Lembrete didático da definição de derivada (a “aula” rápida): a derivada de uma função
em um ponto
é
quando esse limite existe. Aqui
é um incremento pequeno na variável independente; a expressão dentro do limite é chamada de quociente incremental e representa a “inclinação média” entre os pontos
e
. Quando esse quociente tem limite finito quando
, chamamos esse limite de derivada (inclinação instantânea).
Passo 3
Aplicando a definição à nossa função
num ponto genérico
:
Observação: para que
esteja definida para
próximos de zero precisamos de
. Se
existe um intervalo em torno de zero onde isso vale para
positivos e negativos; se
só podemos permitir
. Por isso tratamos
primeiro.
Passo 4
Esse limite tem uma forma indeterminada
quando
. Um truque clássico é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar as raízes. Multiplicamos por
. Fazendo a conta passo a passo:
No numerador usamos a identidade
. Assim:
Portanto o quociente se simplifica para
sempre que
.
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. Note que a função
é contínua em
, então
quando
. Assim
Explicando: o denominador tende a
, que é diferente de zero para
, então o limite é simplesmente o inverso desse valor.
Passo 6
Interpretação e conclusão para
: a derivada de
em qualquer ponto positivo é
Isso significa que a inclinação da reta tangente em
é
. Um exemplo numérico rápido para fixar: em
temos
.
Passo 7
Tratamento do caso
: calculemos o quociente incremental a partir de zero. Como
só faz sentido real para
, só podemos considerar o limite à direita:
Tomando
obtemos
ou seja, o quociente incremental cresce sem limite quando
se aproxima de zero por valores positivos. Não existe limite finito; e para
a expressão nem é real. Portanto a derivada em
não existe (às vezes se diz que a tangente é “vertical” aí).
Resposta
A derivada em