As seguintes derivadas devem ser feitas pela definição
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada dessa função calculada “pela definição”.
Informações relevantes: (domínio do
).
Pergunta clara: calcular usando a definição do derivada (limite do quociente incremental).
Informações relevantes:
Pergunta clara: calcular
Passo 2
Vamos escrever a definição de derivada num ponto genérico
. A derivada de uma função
em
é
Aqui
, então aplicamos essa fórmula com
.
Passo 3
Escrevendo o quociente incremental para
obtemos
Não resolvemos ainda, só colocamos o quociente que vai entrar no limite.
Passo 4
Usamos a propriedade dos logaritmos
para simplificar o numerador:
Portanto a derivada é
Passo 5
Fazemos a substituição
. Como
é fixo e distinto de zero,
se e somente se
. Reescrevendo o limite em
temos
Logo tudo se resume a calcular
Passo 6
Vamos provar que
. Considere primeiro
. Para
em
temos a desigualdade de funções
Integramos essa desigualdade em
de
a
; a integral do meio é
, que é justamente
. Assim obtemos
Dividindo por
segue
Passo 7
Para
em
(caso
) as desigualdades anteriores continuam válidas se reescritas com os sinais correctos (ou raciocinando por áreas/integrais análogas), e portanto também se mantém
para
suficientemente próximo de
(com
).
Passo 8
Agora tomamos limite
nas desigualdades do Passo 6/7. O limite da função
quando
é
, e o limite do
é
. Pelo teorema do confronto (squeeze theorem) concluímos
Passo 9
Voltando ao Passo 5, como
, obtemos
Lembre que isso vale para
(domínio do
).