As seguintes derivadas devem ser feitas pela definição
y=\ln x

Passo 1

O enunciado dá a função \;y=\ln x\; e pede a derivada dessa função calculada “pela definição”.
Informações relevantes: \;x>0\; (domínio do \ln).
Pergunta clara: calcular \displaystyle \frac{d}{dx}\ln x usando a definição do derivada (limite do quociente incremental).

Passo 2

Vamos escrever a definição de derivada num ponto genérico \;x\;. A derivada de uma função f em \;x\; é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui f(t)=\ln t, então aplicamos essa fórmula com f=\ln.

Passo 3

Escrevendo o quociente incremental para \;f(t)=\ln t\; obtemos
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}.
Não resolvemos ainda, só colocamos o quociente que vai entrar no limite.

Passo 4

Usamos a propriedade dos logaritmos \ln a-\ln b=\ln\!\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr) para simplificar o numerador:
\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}=\frac{\ln\!\bigl(\dfrac{x+h}{x}\bigr)}{h}=\frac{\ln\!\bigl(1+\dfrac{h}{x}\bigr)}{h}.
Portanto a derivada é
\frac{d}{dx}\ln x=\lim_{h\to0}\frac{\ln\!\bigl(1+\dfrac{h}{x}\bigr)}{h}.

Passo 5

Fazemos a substituição \;u=\dfrac{h}{x}\;. Como x é fixo e distinto de zero, h\to0 se e somente se u\to0. Reescrevendo o limite em u temos
\frac{d}{dx}\ln x=\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{x u}=\frac{1}{x}\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}.
Logo tudo se resume a calcular
L=\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}.

Passo 6

Vamos provar que L=1. Considere primeiro u>0. Para t em [0,u] temos a desigualdade de funções
\frac{1}{1+u}\le\frac{1}{1+t}\le 1.
Integramos essa desigualdade em t de 0 a u; a integral do meio é \displaystyle\int_{0}^{u}\frac{1}{1+t}\,dt, que é justamente \ln(1+u). Assim obtemos
\frac{u}{1+u}\le \ln(1+u)\le u.
Dividindo por u>0 segue
\frac{1}{1+u}\le\frac{\ln(1+u)}{u}\le 1.

Passo 7

Para u em (-1,0) (caso u<0) as desigualdades anteriores continuam válidas se reescritas com os sinais correctos (ou raciocinando por áreas/integrais análogas), e portanto também se mantém
\frac{1}{1+u}\le\frac{\ln(1+u)}{u}\le 1
para u suficientemente próximo de 0 (com u>-1).

Passo 8

Agora tomamos limite u\to0 nas desigualdades do Passo 6/7. O limite da função \dfrac{1}{1+u} quando u\to0 é 1, e o limite do 1 é 1. Pelo teorema do confronto (squeeze theorem) concluímos
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.

Passo 9

Voltando ao Passo 5, como \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1, obtemos
\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}\cdot 1=\frac{1}{x}.
Lembre que isso vale para \;x>0\; (domínio do \ln).

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}

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