As seguintes derivadas devem ser feitas pela definição
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a derivada pela definição da função
Informações dadas:
nenhuma outra condição foi imposta (assumimos
). A tarefa é obter
usando a definição (limite do quociente incremental).
Passo 2
Vou lembrar e explicar a definição de derivada que vou usar. A derivada de
em um ponto
é o limite
quando esse limite existe. Aqui:
-
é o ponto onde quero a inclinação da função; -
é um pequeno incremento em ; -
é a variação da função quando aumenta de ; - dividir por
dá a inclinação média no intervalo de comprimento ; - tomar o limite
transforma essa inclinação média na inclinação instantânea (derivada).
Usando essa definição, preciso calcular
, montar o quociente
, simplificar e então fazer
.
Passo 3
Calcular
. Primeiro escrevo o que é
:
Então
Para expandir com ordem e clareza, chamo
e
. Assim
Voltando aos termos:
Logo, juntando tudo,
Passo 4
Agora monto o quociente incremental e simplifico. Subtraindo
e dividindo por
:
Fatorando
no numerador (ou dividindo termo a termo) fica
Observe que o primeiro termo não depende de
e o segundo termo é multiplicado por
.
Passo 5
Faço o limite quando
. O segundo termo contém um fator
multiplicando uma expressão que permanece finita quando
, então esse segundo termo tende a
. Portanto
Posso também expandir se preferir: