As seguintes derivadas devem ser feitas pela definição
y=\left(x^{2}-1\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a derivada pela definição da função
y=\left(x^{2}-1\right)^{2}.
Informações dadas:
\text{função }f(x)=\left(x^{2}-1\right)^{2},çã
nenhuma outra condição foi imposta (assumimos x\in\mathbb{R}). A tarefa é obter f'(x) usando a definição (limite do quociente incremental).

Passo 2

Vou lembrar e explicar a definição de derivada que vou usar. A derivada de f em um ponto x é o limite
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
quando esse limite existe. Aqui:
  • x é o ponto onde quero a inclinação da função;
  • h é um pequeno incremento em x;
  • f(x+h)-f(x) é a variação da função quando x aumenta de h;
  • dividir por h dá a inclinação média no intervalo de comprimento h;
  • tomar o limite h\to0 transforma essa inclinação média na inclinação instantânea (derivada).
Usando essa definição, preciso calcular f(x+h), montar o quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}, simplificar e então fazer h\to0.

Passo 3

Calcular f(x+h). Primeiro escrevo o que é (x+h)^{2}:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
Então
f(x+h)=\bigl((x+h)^{2}-1\bigr)^{2}=\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}-1\bigr)^{2}.
Para expandir com ordem e clareza, chamo A=x^{2}-1 e B=2xh+h^{2}. Assim
f(x+h)=(A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}.
Voltando aos termos:
A^{2}=(x^{2}-1)^{2}=f(x),
2AB=2(x^{2}-1)(2xh+h^{2})=4x(x^{2}-1)h+2(x^{2}-1)h^{2},
B^{2}=(2xh+h^{2})^{2}=h^{2}(2x+h)^{2}=h^{2}\bigl(4x^{2}+4xh+h^{2}\bigr).
Logo, juntando tudo,
f(x+h)=f(x)+4x(x^{2}-1)h+2(x^{2}-1)h^{2}+h^{2}\bigl(4x^{2}+4xh+h^{2}\bigr).

Passo 4

Agora monto o quociente incremental e simplifico. Subtraindo f(x) e dividindo por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{4x(x^{2}-1)h+2(x^{2}-1)h^{2}+h^{2}\bigl(4x^{2}+4xh+h^{2}\bigr)}{h}.
Fatorando h no numerador (ou dividindo termo a termo) fica
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=4x(x^{2}-1)+h\Bigl(2(x^{2}-1)+4x^{2}+4xh+h^{2}\Bigr).
Observe que o primeiro termo não depende de h e o segundo termo é multiplicado por h.

Passo 5

Faço o limite quando h\to0. O segundo termo contém um fator h multiplicando uma expressão que permanece finita quando h\to0, então esse segundo termo tende a 0. Portanto
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=4x(x^{2}-1).
Posso também expandir se preferir:
f'(x)=4x^{3}-4x.

Resposta

f'(x)=4x(x^{2}-1) \
f'(x)=4x^{3}-4x

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