As seguintes derivadas devem ser feitas pela definição
y=x^{2}+10 x+4

Passo 1

O enunciado dá a função \;y=x^{2}+10 x+4\; e pede para calcular a derivada dessa função usando a definição de derivada.
Informações relevantes: a função está dada explicitamente para todo x real; precisamos aplicar a definição (limite do quociente incremental) e obter uma expressão para a derivada y' em função de x.

Passo 2

Qual é a definição de derivada que vamos usar? Vou escrever a fórmula e explicar cada parte com calma. Seja f(x) a função; a derivada de f em um ponto x pela definição é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Explicação intuitiva e das letras: h representa um pequeno incremento na variável x. O quociente \frac{f(x+h)-f(x)}{h} é a taxa média de variação de f entre x e x+h (a inclinação da secante). Ao fazer h\to0 tomamos a inclinação do limite da secante quando ela vira a tangente — isso é a derivada (a inclinação da reta tangente). Importante: ao simplificar algebraicamente podemos cancelar um fator h porque no quociente h\neq0; só depois de simplificar é que fazemos o limite h\to0.

Passo 3

Calcular f(x+h) substituindo x+h na expressão de f. Aqui f(x)=x^{2}+10x+4, então
f(x+h)=(x+h)^{2}+10(x+h)+4.
Agora faço a expansão passo a passo:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2},
10(x+h)=10x+10h.
Somando tudo:
f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}+10x+10h+4.

Passo 4

Formar a diferença f(x+h)-f(x). Escrevo f(x) e subtraio:
f(x+h)-f(x)=\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}+10x+10h+4\bigr)-\bigl(x^{2}+10x+4\bigr).
Agora cancelo termos iguais ( x^{2}, 10x e 4 desaparecem):
f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}+10h.

Passo 5

Formar o quociente incremental e simplificar. O quociente é
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2xh+h^{2}+10h}{h}.
Fatorando h no numerador:
\frac{h(2x+h+10)}{h}.
Como nesse quociente h\neq0, podemos cancelar h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h+10.
Observação importante: não podemos simplesmente pôr h=0 antes de cancelar, porque o quociente original é indefinido em h=0; o procedimento correto é simplificar assumindo h\neq0 e então tomar o limite.

Passo 6

Tomar o limite quando h\to0. A expressão simplificada é 2x+h+10 e polinômios são contínuos, então basta substituir h=0 no limite:
f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h+10)=2x+10.
Interpretação: a derivada em qualquer ponto x é 2x+10; isso é a inclinação da reta tangente ao gráfico de y no ponto com abscissa x.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil para confiar no resultado): pelas regras usuais de derivação (regra do poder e linearidade) teríamos \frac{d}{dx}x^{2}=2x, \frac{d}{dx}(10x)=10 e \frac{d}{dx}4=0, somando dá 2x+10, que coincide com o que obtivemos pela definição. Bom sinal!

Resposta

y'=2x+10

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