As seguintes derivadas devem ser feitas pela definição
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada dessa função usando a definição de derivada.
Informações relevantes: a função está dada explicitamente para todo real; precisamos aplicar a definição (limite do quociente incremental) e obter uma expressão para a derivada
em função de
.
Informações relevantes: a função está dada explicitamente para todo
Passo 2
Qual é a definição de derivada que vamos usar? Vou escrever a fórmula e explicar cada parte com calma. Seja
a função; a derivada de
em um ponto
pela definição é
Explicação intuitiva e das letras:
representa um pequeno incremento na variável
. O quociente
é a taxa média de variação de
entre
e
(a inclinação da secante). Ao fazer
tomamos a inclinação do limite da secante quando ela vira a tangente — isso é a derivada (a inclinação da reta tangente). Importante: ao simplificar algebraicamente podemos cancelar um fator
porque no quociente
; só depois de simplificar é que fazemos o limite
.
Passo 3
Calcular
substituindo
na expressão de
. Aqui
, então
Agora faço a expansão passo a passo:
Somando tudo:
Passo 4
Formar a diferença
. Escrevo
e subtraio:
Agora cancelo termos iguais (
,
e
desaparecem):
Passo 5
Formar o quociente incremental e simplificar. O quociente é
Fatorando
no numerador:
Como nesse quociente
, podemos cancelar
:
Observação importante: não podemos simplesmente pôr
antes de cancelar, porque o quociente original é indefinido em
; o procedimento correto é simplificar assumindo
e então tomar o limite.
Passo 6
Tomar o limite quando
. A expressão simplificada é
e polinômios são contínuos, então basta substituir
no limite:
Interpretação: a derivada em qualquer ponto
é
; isso é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto com abscissa
.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil para confiar no resultado): pelas regras usuais de derivação (regra do poder e linearidade) teríamos
,
e
, somando dá
, que coincide com o que obtivemos pela definição. Bom sinal!