As seguintes derivadas devem ser feitas pela definição
y=x^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função \,y=x^{3}\, e pede que calculemos a(s) derivada(s) dessa função “pela definição”.\n
Informações fornecidas:
\,y=x^{3}\, (função polinomial definida para todo \,x\in\mathbb{R}\,).
Pergunta clara: calcular \dfrac{dy}{dx} (a derivada de \,y=x^{3}\,) usando a definição de derivada como limite.

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada (essa é a “fórmula-base” para fazer isso pela definição):\n
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.\n
Explicando cada parte dessa fórmula de um jeito leve:
  • \,f'(x)\, é a derivada de f no ponto x — a taxa de variação instantânea ou a inclinação da reta tangente em x.
  • h é um incremento pequeno em x; a definição faz h tender a zero para medir a variação instantânea.
  • O quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a chamada diferença quociente (uma “inclinação média” entre x e x+h). Tomando o limite quando h\to 0 obtemos a inclinação instantânea.

Passo 3

Aplicamos a definição à função \,f(x)=x^{3}\,. Substituindo na fórmula:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}.
Esse é o ponto de partida: agora vamos manipular algebricamente o numerador para poder cancelar h e depois calcular o limite.

Passo 4

Expandimos (x+h)^{3}. Pelo binômio de Newton (ou apenas multiplicando), temos:
(x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}.
Breve explicação do que apareceu:
  • Os coeficientes 1,3,3,1 vêm do binômio (x+h)^{3}.
  • Cada termo tem potências de x e h que somam 3: x^{3},\,x^{2}h,\,xh^{2},\,h^{3}.

Passo 5

Substituímos a expansão no diferença quociente e simplificamos passo a passo:
\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}=\frac{\bigl(x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}\bigr)-x^{3}}{h}.
Cancelamos os x^{3}:
\frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}}{h}.
Fatoramos h do numerador (isso é importante para poder simplificar com o denominador):
\frac{h\bigl(3x^{2}+3xh+h^{2}\bigr)}{h}.
Agora cancelamos o h (válido para h\neq 0; depois tomamos o limite h\to 0):
3x^{2}+3xh+h^{2}.

Passo 6

Tomamos o limite quando h\to 0. Usamos a propriedade de limites que permite substituir termos que são polinômios em h:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\bigl(3x^{2}+3xh+h^{2}\bigr).
Como \lim_{h\to 0}3xh=3x\cdot 0=0 e \lim_{h\to 0}h^{2}=0, restando apenas:
f'(x)=3x^{2}.
Portanto a derivada de \,x^{3}\, é \,3x^{2}\,.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar (faça isso na prova se quiser checar um ponto): a derivada em x=2 é
f'(2)=3\cdot 2^{2}=3\cdot 4=12.
Interpretação rápida: a inclinação da reta tangente ao gráfico de \,y=x^{3}\, em x=2 é 12. A reta tangente em x=2 tem equação (usar ponto-ângulo):
y_{\text{tang}}=f(2)+f'(2)(x-2)=8+12(x-2)=12x-16.

Passo 8

Resumo didático final (para levar pra prova): aplique sempre a definição
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
expanda f(x+h), cancele um fator h, e então faça h\to 0. Em polinômios isso quase sempre dá um processo direto como o que fizemos aqui.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}

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