As seguintes derivadas devem ser feitas pela definição
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que calculemos a(s) derivada(s) dessa função “pela definição”.\n
Informações fornecidas:
(função polinomial definida para todo
).
Pergunta clara: calcular (a derivada de
) usando a definição de derivada como limite.
Informações fornecidas:
Pergunta clara: calcular
Passo 2
Vou lembrar a definição de derivada (essa é a “fórmula-base” para fazer isso pela definição):\n
Explicando cada parte dessa fórmula de um jeito leve:
-
é a derivada de no ponto — a taxa de variação instantânea ou a inclinação da reta tangente em . -
é um incremento pequeno em ; a definição faz tender a zero para medir a variação instantânea. - O quociente
é a chamada diferença quociente (uma “inclinação média” entre e ). Tomando o limite quando obtemos a inclinação instantânea.
Passo 3
Aplicamos a definição à função
. Substituindo na fórmula:
Esse é o ponto de partida: agora vamos manipular algebricamente o numerador para poder cancelar
e depois calcular o limite.
Passo 4
Expandimos
. Pelo binômio de Newton (ou apenas multiplicando), temos:
Breve explicação do que apareceu:
- Os coeficientes
vêm do binômio . - Cada termo tem potências de
e que somam : .
Passo 5
Substituímos a expansão no diferença quociente e simplificamos passo a passo:
Cancelamos os
:
Fatoramos
do numerador (isso é importante para poder simplificar com o denominador):
Agora cancelamos o
(válido para
; depois tomamos o limite
):
Passo 6
Tomamos o limite quando
. Usamos a propriedade de limites que permite substituir termos que são polinômios em
:
Como
e
, restando apenas:
Portanto a derivada de
é
.
Passo 7
Exemplo numérico para fixar (faça isso na prova se quiser checar um ponto): a derivada em
é
Interpretação rápida: a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em
é
. A reta tangente em
tem equação (usar ponto-ângulo):
Passo 8
Resumo didático final (para levar pra prova): aplique sempre a definição
expanda
, cancele um fator
, e então faça
. Em polinômios isso quase sempre dá um processo direto como o que fizemos aqui.