Ache a derivada ( f^{\prime}(x) ) das seguintes funções:
\ln \left[\sin \left(x^{2}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f'(x) da função dada. Informações fornecidas:
f(x)=\ln\!\big[\sin\big(x^{2}\big)\big].
Observação útil (informação do enunciado que importa): a expressão existe apenas quando \sin\big(x^{2}\big)>0 (pois o logaritmo natural exige argumento positivo). A missão é obter uma expressão algébrica para f'(x).

Passo 2

Vamos usar uma regra de derivação muito prática: se f(x)=\ln\big(u(x)\big), então a derivada é
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando isso com calma: o logaritmo natural é uma função composta — primeiro calcula-se u(x) e depois o \ln. A derivada de uma composição aplica a regra da cadeia, que leva ao quociente acima. Aqui u(x) é qualquer função diferenciável tal que u(x)>0.

Passo 3

Identificamos a função interna u(x) no nosso caso:
u(x)=\sin\big(x^{2}\big).
Pela regra do Passo 2,
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{u'(x)}{\sin\big(x^{2}\big)}.

Passo 4

Agora precisamos calcular u'(x). Novamente é uma composição: u(x)=\sin\big(v(x)\big) com
v(x)=x^{2}.
A derivada da função seno é cosseno multiplicada pela derivada do argumento. Ou seja, aplicando a regra da cadeia:
u'(x)=\cos\big(v(x)\big)\cdot v'(x).

Passo 5

Calculamos v'(x). Como v(x)=x^{2}, sua derivada é
v'(x)=2x.
Substituindo em u'(x) temos
u'(x)=\cos\big(x^{2}\big)\cdot 2x = 2x\cos\big(x^{2}\big).

Passo 6

Voltando para a expressão do Passo 3, substituímos u'(x) e u(x):
f'(x)=\frac{2x\cos\big(x^{2}\big)}{\sin\big(x^{2}\big)}.
Podemos simplificar reconhecendo que \dfrac{\cos(t)}{\sin(t)}=\cot(t). Aplicando com t=x^{2},
f'(x)=2x\,\cot\big(x^{2}\big).

Passo 7

Resumo didático rápido (para você lembrar na prova): primeiro identifique a função externa ( \ln) e a interna ( \sin(x^2)). Use a regra do logaritmo \big(\frac{u'}{u}\big) e, se necessário, aplique a regra da cadeia de novo para derivar a função interna (seno → cosseno, e x^2 2x). Fica na cabeça: derivada de \ln(u) é u'/u; derivada de \sin(v) é \cos(v)\cdot v'.

Resposta

f'(x)=\frac{2x\cos\big(x^{2}\big)}{\sin\big(x^{2}\big)}=2x\,\cot\big(x^{2}\big)

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