Ache a derivada (
) das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função dada. Informações fornecidas:
Observação útil (informação do enunciado que importa): a expressão existe apenas quando
(pois o logaritmo natural exige argumento positivo). A missão é obter uma expressão algébrica para
.
Passo 2
Vamos usar uma regra de derivação muito prática: se
, então a derivada é
Explicando isso com calma: o logaritmo natural é uma função composta — primeiro calcula-se
e depois o
. A derivada de uma composição aplica a regra da cadeia, que leva ao quociente acima. Aqui
é qualquer função diferenciável tal que
.
Passo 3
Identificamos a função interna
no nosso caso:
Pela regra do Passo 2,
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Novamente é uma composição:
com
A derivada da função seno é cosseno multiplicada pela derivada do argumento. Ou seja, aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Calculamos
. Como
, sua derivada é
Substituindo em
temos
Passo 6
Voltando para a expressão do Passo 3, substituímos
e
:
Podemos simplificar reconhecendo que
. Aplicando com
,
Passo 7
Resumo didático rápido (para você lembrar na prova): primeiro identifique a função externa (
) e a interna (
). Use a regra do logaritmo
e, se necessário, aplique a regra da cadeia de novo para derivar a função interna (seno → cosseno, e
→
). Fica na cabeça: derivada de
é
; derivada de
é
.