Para as seguintes equações definidas implicitamente, encontre os pontos onde a tangente é horizontal ou vertical de forma analítica. Em seguida, faça o gráfico de cada curva mostrando pelo menos uma tangente horizontal e uma tangente vertical.
\operatorname{sen}(x+y)=y^{2} \cos (x))

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
\sin(x+y)=y^{2}\cos x
e pede: encontrar analiticamente os pontos da curva onde a tangente é horizontal e onde é vertical; em cada caso mostrar pelo menos um exemplo de tangente (para usar no gráfico).
Informações relevantes dadas:
  • A curva é definida implicitamente por \sin(x+y)=y^{2}\cos x.
  • Tangente horizontal acontece quando a derivada \dfrac{dy}{dx}=0.
  • Tangente vertical acontece quando a derivada \dfrac{dy}{dx} é indefinida (denominador zero) enquanto o numerador não se anula.
    Não começo a resolver agora; só identifiquei o que o problema pede e os dados.

Passo 2

Primeiro precisamos achar \dfrac{dy}{dx} por diferenciação implícita. Vou explicar passo a passo como fazer isso (cadeia e produto, devagar que é tranquilo).
Diferencio ambos os lados da igualdade em relação a x, lembrando que y=y(x) depende de x.
  • Lado esquerdo: \sin(x+y). Uso a regra da cadeia: derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'. Aqui u=x+y e u' = 1 + y'. Logo
\frac{d}{dx}\big(\sin(x+y)\big)=\cos(x+y)\big(1+y'\big).
  • Lado direito: y^{2}\cos x. É produto de y^{2} por \cos x. Pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\cos x\big)=\frac{d}{dx}(y^{2})\cdot\cos x + y^{2}\cdot\frac{d}{dx}(\cos x).
Agora \frac{d}{dx}(y^{2})=2y y' (cadeia), e \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x. Assim
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\cos x\big)=2y y'\cos x - y^{2}\sin x.
Igualando as derivadas:
\cos(x+y)\big(1+y'\big)=2y y'\cos x - y^{2}\sin x.
Agora isolo y'. Primeiro passo, escrevo todos os termos com y' num lado:
\cos(x+y) + \cos(x+y)\,y' = 2y y'\cos x - y^{2}\sin x.
Agrupando os termos com y':
\cos(x+y) + y'\big(\cos(x+y)-2y\cos x\big) = -y^{2}\sin x.
Logo
y'\big(\cos(x+y)-2y\cos x\big) = -y^{2}\sin x - \cos(x+y).
Portanto a fórmula da derivada (importante na prova!) é
\boxed{\,y'=\dfrac{-y^{2}\sin x - \cos(x+y)}{\cos(x+y)-2y\cos x}\,}
ou, multiplicando numerador e denominador por -1,
\boxed{\,y'=\dfrac{y^{2}\sin x + \cos(x+y)}{2y\cos x - \cos(x+y)}\,.}
Explico o que cada termo significa: y' é \dfrac{dy}{dx}; o numerador vem da derivada do lado direito somada com o termo -\cos(x+y) que veio do lado esquerdo e o denominador é exatamente o coeficiente que multiplica y' após agrupar termos.

Passo 3

Tangentes horizontais: condição \,y'=0\). Usando a fórmula, isso equivale a pedir que o numerador seja zero (e o denominador não seja zero ao mesmo tempo, mas veremos que nesse caso o denominador não anula nas soluções que aparecem). Então impomos \[y^{2}\sin x + \cos(x+y)=0.
Lembremos também que os pontos procurados pertencem à curva original:
\sin(x+y)=y^{2}\cos x.
Agora vou resolver o sistema
\begin{cases} \sin(x+y)=y^{2}\cos x,\\[4pt] y^{2}\sin x + \cos(x+y)=0. \end{cases}
Substituição/ combinação prática: da segunda equação isolamos \cos(x+y)=-y^{2}\sin x\]. Substituo isso na identidade pitagórica para o ângulo \(x+y: \sin^{2}(x+y)+\cos^{2}(x+y)=1. Usando a primeira equação \sin(x+y)=y^{2}\cos x e a expressão da segunda, obtemos
\big(y^{2}\cos x\big)^{2} + \big(-y^{2}\sin x\big)^{2} = 1.
Isso dá
y^{4}\big(\cos^{2}x+\sin^{2}x\big) = 1,
ou seja
y^{4}=1.
Portanto y = \pm 1 (somos em reais; raízes complexas não interessam aqui).
Agora Determinar x correspondente:
  • Se y=1, a equação original fica \sin(x+1)=1\cdot\cos x=\cos x. Igualdade útil: \cos x=\sin\big(\tfrac{\pi}{2}-x\big). Assim \sin(x+1)=\sin\big(\tfrac{\pi}{2}-x\big). Igualdade de senos dá as duas famílias, mas a que fornece soluções consistentes é
x+1=\tfrac{\pi}{2}-x+2k\pi \quad\Rightarrow\quad 2x = \tfrac{\pi}{2}-1 + 2k\pi,
ou seja
\boxed{\,x = \tfrac{\pi}{4} - \tfrac{1}{2} + k\pi,\quad y=1,\quad k\in\mathbb{Z}.}
(A outra alternativa de igualdade trigonométrica leva a uma condição impossível para y=1.)
  • Se y=-1, similarmente a equação original é \sin(x-1)=\cos x. Repetindo o mesmo raciocínio obtemos
\boxed{\,x = \tfrac{\pi}{4} + \tfrac{1}{2} + k\pi,\quad y=-1,\quad k\in\mathbb{Z}.}
Comentário prático para a prova: ao encontrar y=\pm1 você já sabe que as tangentes horizontais ocorrem nessas linhas horizontais y=1 e y=-1; as abscissas são dadas pelas fórmulas acima (pega k=0 para um exemplo rápido no gráfico).
Exemplos concretos (para marcar no desenho):
  • Para k=0: ponto com tangente horizontal em \big(x,y\big)=\big(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{1}{2},\,1\big) e a reta tangente é \,y=1.
  • Para k=0: ponto com tangente horizontal em \big(x,y\big)=\big(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{1}{2},\,-1\big) e a reta tangente é \,y=-1.]

Passo 4

Tangentes verticais: condição de tangente vertical é que o denominador da expressão de y' seja zero enquanto o numerador não seja zero. Usando a forma
y'=\frac{y^{2}\sin x + \cos(x+y)}{2y\cos x - \cos(x+y)},
exigimos
\text{(i)}\quad 2y\cos x - \cos(x+y)=0
e
\text{(ii)}\quad y^{2}\sin x + \cos(x+y)\neq 0.
Da equação (i) obtemos
\cos(x+y)=2y\cos x.
Juntando com a equação da curva original \sin(x+y)=y^{2}\cos x, podemos interpretar \big(\sin(x+y),\cos(x+y)\big) em função de \cos x e y:
\sin(x+y)=y^{2}\cos x,\qquad \cos(x+y)=2y\cos x.
Somando os quadrados (identidade trigonométrica) resulta
1=\sin^{2}(x+y)+\cos^{2}(x+y)=\cos^{2}x\big(y^{4}+4y^{2}\big).
Logo
\boxed{\,\cos^{2}x=\dfrac{1}{y^{2}(y^{2}+4)}.}
Interpretação e condição de existência: para haver solução real precisamos de y\neq 0 e do lado direito ser \le 1. Isso dá a condição numérica sobre y:
y^{2}(y^{2}+4)\ge 1 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}\ge -2+\sqrt{5}\approx 0{,}23607,
ou seja |y|\gtrsim 0{,}486. Portanto não existem tangentes verticais com |y| muito pequenas; elas só aparecem para |y| suficientemente grandes (em módulo).
Como determinar x para cada y que satisfaça essa condição? Use a razão das duas igualdades acima (assumindo \cos x\neq 0):
\tan(x+y)=\frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)}=\frac{y^{2}\cos x}{2y\cos x}=\frac{y}{2}.
Assim
x+y = \arctan\!\left(\frac{y}{2}\right) + n\pi,\quad n\in\mathbb{Z},
ou seja
\boxed{\,x = \arctan\!\left(\frac{y}{2}\right) + n\pi - y.}
Para cada y admissível (que satisfaça \cos^{2}x da caixa acima) escolhemos n de modo a obter um x consistente. Depois verificamos a condição (ii) para garantir que o numerador não zere (se o numerador também anular, então temos uma situação tipo ponto singulare/possível cruzamento, não vertical simples).
Para a prova é suficiente expor este procedimento e, para o gráfico, dar um exemplo numérico concreto (um ponto real onde dá vertical). Fiz uma busca numérica rápida (método de corresponder as duas expressões para x) e encontrei pelo menos uma solução real aproximada que satisfaz (i) e que tem numerador não nulo. Um exemplo numérico (útil para marcar no desenho) é
\boxed{\,\big(x\approx -1{,}426,\; y\approx 2{,}275\big),}
onde de fato 2y\cos x - \cos(x+y)\approx 0 (denominador nulo) e o numerador y^{2}\sin x + \cos(x+y) é aproximadamente -4{,}47\neq 0. Assim a reta tangente vertical aproximada é
\boxed{\,x\approx -1{,}426.}
(Observação: existem várias soluções discretas: a condição envolve um n\pi e a simetria dos sinais, então há uma infinidade de pontos com tangente vertical, mas nem todas as escolhas de y simples dão solução; o raciocínio acima mostra como encontrá-las e garante existência para valores de |y| suficientemente grandes. Para a prova é suficiente apresentar a equação que determina esses pontos e um exemplo numérico.)

Passo 5

Como desenhar (guia prático para o gráfico e marcar tangentes) — passo a passo rápido que você pode seguir no caderno:
  1. Trace o contorno da curva implicitamente (ou use um software). Para marcar pontos, use os exemplos:
    • Tangente horizontal: ponto \big(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{1}{2},\,1\big) com reta tangente y=1.
    • Tangente vertical: ponto aproximado \big(-1{,}426,\;2{,}275\big) com reta tangente x=-1{,}426.
  2. Em cada ponto desenhe a reta indicada: horizontal y=1 (ou y=-1 para o outro exemplo) e vertical x=-1{,}426.
  3. Se quiser mais tangentes verticais, varie n na fórmula x=\arctan(y/2)+n\pi - y e resolva numericamente o sistema descrito no Passo 4; há várias soluções periódicas.

Passo 6

Resumo didático rápido (para prova — decore o esquema):
  • Faça diferenciação implícita usando cadeia e produto; recolha termos em y' e isole y'.
  • Tangente horizontal: imponha numerador = 0; resolva junto com a equação da curva.
  • Tangente vertical: imponha denominador = 0 e verifique numerador \neq 0; combine com a equação da curva (use soma de quadrados para eliminar ângulos e obter condição em y, depois recupere x por \tan(x+y)=y/2).
    Força aí — você já tem a fórmula da derivada e o passo-a-passo para achar e verificar tangentes. Dá pra aplicar direto na prova.

Resposta

Tangentes horizontais:
\displaystyle \big(x,y\big)=\Big(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{1}{2}+k\pi,\;1\Big),\\ k\in\mathbb{Z} (reta tangente y=1)
\displaystyle \big(x,y\big)=\Big(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{1}{2}+k\pi,\;-1\Big),\\ k\in\mathbb{Z} (reta tangente y=-1)
Tangentes verticais:
Pontos são soluções do sistema
\displaystyle \cos(x+y)=2y\cos x,\quad \sin(x+y)=y^{2}\cos x,
equivalentemente
\displaystyle \cos^{2}x=\dfrac{1}{y^{2}(y^{2}+4)} e \displaystyle x=\arctan\!\big(\tfrac{y}{2}\big)+n\pi - y.
Exemplo numérico (uma tangente vertical real): \displaystyle (x\approx -1{,}426,\;y\approx 2{,}275) com reta tangente aproximada \displaystyle x\approx -1{,}426.

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