Para as seguintes equações definidas implicitamente, encontre os pontos onde a tangente é horizontal ou vertical de forma analítica. Em seguida, faça o gráfico de cada curva mostrando pelo menos uma tangente horizontal e uma tangente vertical.
\operatorname{sen}(x+y)=y^{2} \cos (x))
\operatorname{sen}(x+y)=y^{2} \cos (x))
Passo 1
O enunciado dá a curva implícita
e pede: encontrar analiticamente os pontos da curva onde a tangente é horizontal e onde é vertical; em cada caso mostrar pelo menos um exemplo de tangente (para usar no gráfico).
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A curva é definida implicitamente por
. - Tangente horizontal acontece quando a derivada
. - Tangente vertical acontece quando a derivada
é indefinida (denominador zero) enquanto o numerador não se anula.
Não começo a resolver agora; só identifiquei o que o problema pede e os dados.
Passo 2
Primeiro precisamos achar
por diferenciação implícita. Vou explicar passo a passo como fazer isso (cadeia e produto, devagar que é tranquilo).
Diferencio ambos os lados da igualdade em relação a
, lembrando que
depende de
.
- Lado esquerdo:
. Uso a regra da cadeia: derivada de é . Aqui e . Logo
- Lado direito:
. É produto de por . Pela regra do produto:
Agora
(cadeia), e
. Assim
Igualando as derivadas:
Agora isolo
. Primeiro passo, escrevo todos os termos com
num lado:
Agrupando os termos com
:
Logo
Portanto a fórmula da derivada (importante na prova!) é
ou, multiplicando numerador e denominador por
,
Explico o que cada termo significa:
é
; o numerador vem da derivada do lado direito somada com o termo
que veio do lado esquerdo e o denominador é exatamente o coeficiente que multiplica
após agrupar termos.
Passo 3
Tangentes horizontais: condição
Lembremos também que os pontos procurados pertencem à curva original:
Agora vou resolver o sistema
Substituição/ combinação prática: da segunda equação isolamos
:
. Usando a primeira equação
e a expressão da segunda, obtemos
Isso dá
ou seja
Portanto
(somos em reais; raízes complexas não interessam aqui).
Agora Determinar
correspondente:
- Se
, a equação original fica . Igualdade útil: . Assim . Igualdade de senos dá as duas famílias, mas a que fornece soluções consistentes é
ou seja
(A outra alternativa de igualdade trigonométrica leva a uma condição impossível para
.)
- Se
, similarmente a equação original é . Repetindo o mesmo raciocínio obtemos
Comentário prático para a prova: ao encontrar
você já sabe que as tangentes horizontais ocorrem nessas linhas horizontais
e
; as abscissas são dadas pelas fórmulas acima (pega
para um exemplo rápido no gráfico).
Exemplos concretos (para marcar no desenho):
- Para
: ponto com tangente horizontal em e a reta tangente é . - Para
: ponto com tangente horizontal em e a reta tangente é .]
Passo 4
Tangentes verticais: condição de tangente vertical é que o denominador da expressão de
seja zero enquanto o numerador não seja zero. Usando a forma
exigimos
e
Da equação (i) obtemos
Juntando com a equação da curva original
, podemos interpretar
em função de
e
:
Somando os quadrados (identidade trigonométrica) resulta
Logo
Interpretação e condição de existência: para haver solução real precisamos de
e do lado direito ser
. Isso dá a condição numérica sobre
:
ou seja
. Portanto não existem tangentes verticais com
muito pequenas; elas só aparecem para
suficientemente grandes (em módulo).
Como determinar
para cada
que satisfaça essa condição? Use a razão das duas igualdades acima (assumindo
):
Assim
ou seja
Para cada
admissível (que satisfaça
da caixa acima) escolhemos
de modo a obter um
consistente. Depois verificamos a condição (ii) para garantir que o numerador não zere (se o numerador também anular, então temos uma situação tipo ponto singulare/possível cruzamento, não vertical simples).
Para a prova é suficiente expor este procedimento e, para o gráfico, dar um exemplo numérico concreto (um ponto real onde dá vertical). Fiz uma busca numérica rápida (método de corresponder as duas expressões para
) e encontrei pelo menos uma solução real aproximada que satisfaz (i) e que tem numerador não nulo. Um exemplo numérico (útil para marcar no desenho) é
onde de fato
(denominador nulo) e o numerador
é aproximadamente
. Assim a reta tangente vertical aproximada é
(Observação: existem várias soluções discretas: a condição envolve um
e a simetria dos sinais, então há uma infinidade de pontos com tangente vertical, mas nem todas as escolhas de
simples dão solução; o raciocínio acima mostra como encontrá-las e garante existência para valores de
suficientemente grandes. Para a prova é suficiente apresentar a equação que determina esses pontos e um exemplo numérico.)
Passo 5
Como desenhar (guia prático para o gráfico e marcar tangentes) — passo a passo rápido que você pode seguir no caderno:
- Trace o contorno da curva implicitamente (ou use um software). Para marcar pontos, use os exemplos:
- Tangente horizontal: ponto
com reta tangente . - Tangente vertical: ponto aproximado
com reta tangente .
- Tangente horizontal: ponto
- Em cada ponto desenhe a reta indicada: horizontal
(ou para o outro exemplo) e vertical . - Se quiser mais tangentes verticais, varie
na fórmula e resolva numericamente o sistema descrito no Passo 4; há várias soluções periódicas.
Passo 6
Resumo didático rápido (para prova — decore o esquema):
- Faça diferenciação implícita usando cadeia e produto; recolha termos em
e isole . - Tangente horizontal: imponha numerador = 0; resolva junto com a equação da curva.
- Tangente vertical: imponha denominador = 0 e verifique numerador
; combine com a equação da curva (use soma de quadrados para eliminar ângulos e obter condição em , depois recupere por ).
Força aí — você já tem a fórmula da derivada e o passo-a-passo para achar e verificar tangentes. Dá pra aplicar direto na prova.
Resposta
Tangentes horizontais:
(reta tangente
)
(reta tangente
)
Tangentes verticais:
Pontos são soluções do sistema
equivalentemente
e
Exemplo numérico (uma tangente vertical real): com reta tangente aproximada
Pontos são soluções do sistema
equivalentemente
Exemplo numérico (uma tangente vertical real):