Para as seguintes equações definidas implicitamente, encontre os pontos onde a tangente é horizontal ou vertical de forma analítica. Em seguida, faça o gráfico de cada curva mostrando pelo menos uma tangente horizontal e uma tangente vertical.
x+y=y^{2} \cos (x y)

Passo 1

Vamos entender bem o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Enunciado: a curva é definida implicitamente por x+y=y^{2}\cos(xy).
  • Perguntas pedidas:
    1. Encontrar os pontos onde a tangente é horizontal (isto é, onde \dfrac{dy}{dx}=0).
    2. Encontrar os pontos onde a tangente é vertical (isto é, onde \dfrac{dy}{dx} é indefinida / infinito — usualmente o denominador da expressão para \dfrac{dy}{dx} é zero enquanto o numerador não é).
    3. Fazer o gráfico da curva mostrando pelo menos uma tangente horizontal e uma tangente vertical (vou explicar como obter um ponto para cada caso para marcar no gráfico).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação relaciona x e y implicitamente; não temos y isolado.
  • Para estudar tangentes precisamos derivar implicitamente a equação para obter \dfrac{dy}{dx}.
  • Uma tangente horizontal corresponde a \dfrac{dy}{dx}=0 (numerador zero e denominador diferente de zero).
  • Uma tangente vertical corresponde a \dfrac{dy}{dx} com denominador zero e numerador diferente de zero.
A resolução começa agora: vamos diferenciar implicitamente e obter a condição analítica para horizontais e verticais.

Passo 2

Diferenciação implícita: vou derivar a equação
x+y=y^{2}\cos(xy)
com respeito a x, lembrando que y depende de x (ou seja, y=y(x)). Sempre que derivarmos y aparece y'=\dfrac{dy}{dx}.
Derivando termo a termo:
  • Derivada de x é 1.
  • Derivada de y é y'.
  • Derivada do lado direito y^{2}\cos(xy) exige regra do produto e regra da cadeia.
Regra do produto para y^{2}\cos(xy):
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\cos(xy)\big) = \big(2y\,y'\big)\cos(xy) + y^{2}\cdot\frac{d}{dx}\big(\cos(xy)\big).
E pela regra da cadeia
\frac{d}{dx}\big(\cos(xy)\big) = -\sin(xy)\cdot\frac{d}{dx}(xy) = -\sin(xy)\cdot\big(y + x y'\big).
Juntando:
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\cos(xy)\big) = 2y\,y'\cos(xy) - y^{2}\sin(xy)\big(y + x y'\big).
Agora escrevemos a igualdade da derivada (derivada do lado esquerdo igual à derivada do lado direito):
1 + y' = 2y\,y'\cos(xy) - y^{2}\sin(xy)\big(y + x y'\big).

Passo 3

Organização das parcelas com y' (vou agrupar termos que multipliquem y' e os termos sem y').
Expandindo o termo do seno:
- y^{2}\sin(xy)\big(y + x y'\big) = -y^{3}\sin(xy) - x y^{3} \sin(xy)\,y'.
E o termo 2y\,y'\cos(xy) já tem y'.
Substituindo na equação da derivada:
1 + y' = 2y\,y'\cos(xy) - y^{3}\sin(xy) - x y^{3} \sin(xy)\,y'.
Passo a passo: passamos todos os termos com y' para o lado esquerdo e os termos sem y' para o lado direito:
y' - 2y\,y'\cos(xy) + x y^{3}\sin(xy)\,y' = -1 - y^{3}\sin(xy).
Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\Big(1 - 2y\cos(xy) + x y^{2}\sin(xy)\Big) = -1 - y^{3}\sin(xy).
Portanto a derivada implícita é
\boxed{\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{-1 - y^{3}\sin(xy)}{\,1 - 2y\cos(xy) + x y^{2}\sin(xy)\,}.}
Vou chamar o numerador de N(x,y) e o denominador de D(x,y) para facilitar:
N(x,y) = -1 - y^{3}\sin(xy), \qquad D(x,y) = 1 - 2y\cos(xy) + x y^{2}\sin(xy).

Passo 4

Condições analíticas para tangentes horizontais e verticais — explicação didática.
  • Tangente horizontal: \dfrac{dy}{dx}=0. Em termos algébricos isso acontece quando o numerador é zero (e o denominador é diferente de zero). Logo a condição é
    N(x,y)=0 \quad\text{e}\quad D(x,y)\neq 0,
    ou seja
    -1 - y^{3}\sin(xy) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin(xy) = -\frac{1}{y^{3}},
    juntamente com a própria equação da curva
    x+y=y^{2}\cos(xy).
    Observação útil: como |\sin|\le 1, essa igualdade exige \left|\dfrac{1}{y^{3}}\right|\le 1, portanto |y|\ge 1. Ou seja, possíveis horizontais só podem ocorrer com |y|\ge 1.
  • Tangente vertical: \dfrac{dy}{dx} indefinida (tende a \pm\infty). Normalmente isso significa denominador zero e numerador diferente de zero:
    D(x,y)=0 \quad\text{e}\quad N(x,y)\neq 0,
    ou seja
    1 - 2y\cos(xy) + x y^{2}\sin(xy) = 0,
    juntamente com a equação da curva x+y=y^{2}\cos(xy).
Resumo das condições em forma de sistemas:
  • Sistema para tangente horizontal:
    \begin{cases} x+y = y^{2}\cos(xy),\\[4pt] \sin(xy) = -\dfrac{1}{y^{3}},\\[4pt] D(x,y)\neq 0. \end{cases}
  • Sistema para tangente vertical:
    \begin{cases} x+y = y^{2}\cos(xy),\\[4pt] 1 - 2y\cos(xy) + x y^{2}\sin(xy) = 0,\\[4pt] N(x,y)\neq 0. \end{cases}
Essas são condições puramente analíticas (são sistemas de equações transcendentais). Agora eu te mostro como manipulá-las para reduzir incógnitas e como proceder para encontrar pontos concretos (numéricos), que é o que você fará na hora da prova/estudo prático.]

Passo 5

Como reduzir o sistema horizontal para uma única equação em y (estratégia e álgebra). Isto é útil porque nos permite procurar soluções numéricas com um único parâmetro.
Seja s = x+y. Da equação da curva temos
s = y^{2}\cos(xy).
Além disso xy = yx = y(x) = y(s - y) = y s - y^{2}. Então o argumento trigonométrico xy pode ser escrito em termos de y e s.
Para a condição de tangente horizontal temos \sin(xy) = -1/y^{3}. Usando a identidade pitagórica \sin^{2}+\cos^{2}=1, obtemos
\cos^{2}(xy) = 1 - \sin^{2}(xy) = 1 - \frac{1}{y^{6}}.
Mas \cos(xy) = \dfrac{s}{y^{2}} (pela definição de s), então
\left(\frac{s}{y^{2}}\right)^{2} = 1 - \frac{1}{y^{6}}.
Multiplicando por y^{6} ficamos com
s^{2}y^{2} = y^{6} - 1.
Ou seja
s^{2} = y^{4} - \frac{1}{y^{2}}.
Lembrando que s = x+y e xy = y s - y^{2}, qualquer solução deve satisfazer também a consistência trigonométrica entre \sin(xy) e \cos(xy)=s/y^{2}. Em suma: o sistema reduz-se a resolver para y a equação transcendental
\sin\big(y s - y^{2}\big) = -\frac{1}{y^{3}},\quad\text{com}\quad s = \pm\sqrt{y^{4}-\frac{1}{y^{2}}}.
Esta equação é, em geral, transcendental (envolve y dentro de seno e também numa raiz) e não se resolve em forma fechada: a abordagem prática é resolver numericamente (por Newton, secante, ou método gráfico) para obter valores de y, e então recuperar s e x=s-y.
Obs.: a desigualdade |y|\ge 1 vem naturalmente (para ter termo dentro da raiz real).

Passo 6

Como proceder para o caso vertical (redução análoga). Começamos com o sistema
\begin{cases} s = y^{2}\cos(xy),\\\\ 1 - 2y\cos(xy) + x y^{2}\sin(xy) = 0, \end{cases}
onde s=x+y e xy = y s - y^{2}. Substituindo x = s - y dentro da segunda equação e usando \cos(xy)=s/y^{2} e \sin(xy) como função de xy, obtemos uma equação em y e s. Especificamente:
1 - 2y\cdot\frac{s}{y^{2}} + (s - y) y^{2}\sin(y s - y^{2}) = 0,
ou simplificando
1 - \frac{2s}{y} + (s - y) y^{2}\sin(y s - y^{2}) = 0, \quad\text{com}\quad s = y^{2}\cos(y s - y^{2}).
Novamente: sistema transcendental; a solução prática é numérica.

Passo 7

Dicas práticas (como achar pontos concretos para marcar no gráfico e verificar tangentes) — passo a passo para aplicar em prova/estudo:
  1. Obtenha a expressão da derivada (feito no Passo 3). Ela é a ferramenta principal:
    \frac{dy}{dx} = \frac{-1 - y^{3}\sin(xy)}{1 - 2y\cos(xy) + x y^{2}\sin(xy)}.
  2. Para procurar uma tangente horizontal:
    • Resolva numericamente o sistema \begin{cases} x+y = y^{2}\cos(xy),\\\ \sin(xy) = -\dfrac{1}{y^{3}}. \end{cases}
    • Procedimento numérico prático: escolha um y\) com \(|y|\ge 1\), compute \(\theta = \arcsin(-1/y^{3})\) (tenha atenção aos ramos do arco seno), então imponha \(xy=\theta + 2\pi k\) (tentar alguns \(k\)), escreva \(x = y^{2}\cos(\theta)/ - y\) a partir de \(x+y\) etc., e ajuste por Newton até consistir \(xy=\theta + 2\pi k\). É trabalho de cálculo numérico (aceitável na prova se pedirem aproximação). 3. Para procurar uma tangente vertical: - Resolva numericamente o sistema \[\begin{cases} x+y = y^{2}\cos(xy),\\[4pt] 1 - 2y\cos(xy) + x y^{2}\sin(xy) = 0. \end{cases}
    • Estratégia prática: escolhe um y\] inicial (por tentativa, por exemplo \(y pequeno ou y em torno de 1/2,1,2 dependendo do comportamento), utilize x = y^{2}\cos(xy) - y para eliminar x, e resolva a equação resultante em y por métodos numéricos.
  3. Se o problema pedir um gráfico: use um software (Python/Mathematica/GeoGebra) para traçar a curva implícita x+y-y^{2}\cos(xy)=0 e, sobrepondo, marque os pontos obtidos numericamente. Para desenhar a tangente em um ponto (x_{0},y_{0}) basta plotar a reta
    y = y_{0} + m (x - x_{0}),\quad m=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_{0},y_{0})}
    (no caso vertical use uma linha x=x_{0}).]

Passo 8

Exemplo prático e aproximações rápidas (um ponto quase-vertical para marcar no gráfico).
  • Eu faço uma busca rápida por tentativa para achar um ponto da curva com y=\tfrac{1}{2}. Com y=0{,}5 resolvendo x+0{,}5 = 0{,}25\cos(0{,}5x) por tentativa chegamos a aproximadamente x\approx -0{,}251. Verificação rápida:
    x+y \approx -0{,}251 + 0{,}5 = 0{,}249, \qquad y^{2}\cos(xy) \approx 0{,}25\cos(-0{,}1255)\approx 0{,}248,
    valores bastante próximos — ou seja (x\approx -0{,}251,\;y=0{,}5) é um ponto da curva quase exato (pequeno ajuste numérico o tornaria mais preciso).
  • Neste ponto calculei a derivada aproximada (usando a fórmula): o denominador D ficou pequeno e o numerador N não nulo, o que dá uma inclinação com módulo muito grande (por volta de -60), ou seja a reta é quase vertical. Assim este ponto serve para marcar no gráfico uma tangente praticamente vertical. Para obter exatamente a tangente vertical (denominador zero) seria preciso refinar numericamente até resolver o sistema do Passo 6 — procedimento que faz-se com Newton/solver numérico.
  • Para tangente horizontal: tentei procurar soluções numéricas do sistema do Passo 5 em intervalos razoáveis (|y| entre 1 e 3) e as equações são bem transcendentes; se for pedido um valor numérico a melhor prática é aplicar um solver numérico (Newton) sobre a equação reduzida do Passo 5. Em muitos desses problemas implícitos as horizontais podem não existir ou estar em ramos de y maiores. A condição teórica é clara: \sin(xy)=-1/y^{3} e x+y=y^{2}\cos(xy). Se você precisa de um número de prova, use um solver numérico (eu te explico como aplicar passo a passo no Python / GeoGebra se quiser).

Resposta

[\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{-1 - y^{3}\sin(xy)}{,1 - 2y\cos(xy) + x y^{2}\sin(xy),}.)
Tangentes horizontais: pontos (x,y) que satisfazem o sistema
\begin{cases} x+y = y^{2}\cos(xy),\\[4pt] \sin(xy) = -\dfrac{1}{y^{3}}, \end{cases}
(com |y|\ge 1\] por \[|\sin|\le 1; soluções numéricas obtêm-se resolvendo este sistema por métodos numéricos).
Tangentes verticais: pontos (x,y) que satisfazem o sistema
\begin{cases} x+y = y^{2}\cos(xy),\\[4pt] 1 - 2y\cos(xy) + x y^{2}\sin(xy) = 0, \end{cases}
com -1 - y^{3}\sin(xy)\neq 0\]. Um ponto prático para marcar no gráfico e que corresponde a uma inclinação muito grande (quase vertical) é aproximadamente \((x\approx -0{,}251,\;y=0{,}5) — para obter exatamente pontos com denominador nulo ou numerador nulo é preciso refinamento numérico (Newton/solver).]

Exercícios relacionados