As seguintes equações diferenciais de primeira ordem são apresentadas na forma normal e na forma diferencial. Determine se as equações na forma normal são lineares e/ou homogêneas, e se as equaçōes sob forma diferencial são separáveis e/ou exatas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas equações diferenciais de primeira ordem apresentadas de formas diferentes. Na primeira, está na forma normal: $ y’ = x y $. Na segunda, está na forma diferencial: $ x y dx - dy = 0 $. Nosso objetivo é descobrir se, na forma normal, a equação é linear e/ou homogênea, e se, na forma diferencial, a equação é separável e/ou exata. Para isso, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa e aplicar esses conceitos nas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação na forma normal: $ y’ = x y $.
Equação Linear: Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma $ y’ + P(x) y = Q(x) $, onde $ P(x) $ e $ Q(x) $ são funções de $ x $. Comparando com $ y’ = x y $, podemos reescrever como $ y’ - x y = 0 $. Aqui, $ P(x) = -x $ e $ Q(x) = 0 $. Como a equação está na forma linear, concluímos que ela é linear.
Equação Homogênea: Uma equação linear é homogênea se $ Q(x) = 0 $. No nosso caso, $ Q(x) = 0 $, então a equação também é homogênea.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a equação na forma diferencial: $ x y dx - dy = 0 $.
Equação Separável: Uma equação é separável se pode ser escrita como $ M(x) dx + N(y) dy = 0 $, onde $ M $ é função apenas de $ x $ e $ N $ é função apenas de $ y $. No nosso caso, $ M(x, y) = x y $ e $ N(x, y) = -1 $. Vemos que $ M $ depende de $ y $ também, então não conseguimos separar as variáveis facilmente. Portanto, a equação não é separável.
Equação Exata: Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $.
Calculando:
Como $ x \neq 0 $, temos que $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $. Portanto, a equação não é exata.
Resposta
Na forma normal, a equação é linear e homogênea. Na forma diferencial, a equação não é separável nem exata.