As seguintes equações diferenciais de primeira ordem são apresentadas na forma normal e na forma diferencial. Determine se as equações na forma normal são lineares e/ou homogêneas, e se as equaçōes sob forma diferencial são separáveis e/ou exatas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma equação diferencial apresentada de duas formas: a forma normal e a forma diferencial. A gente precisa descobrir se, na forma normal, a equação é linear e/ou homogênea, e, na forma diferencial, se ela é separável e/ou exata. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação na forma normal, que é dada por:
Linearidade:
Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se ela pode ser escrita na forma . Vamos comparar com a nossa equação:
Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se ela pode ser escrita na forma
Aqui,
e
. Como está na forma
, a equação é linear.
Homogeneidade:
Uma equação é homogênea se . No nosso caso,
, então a equação também é homogênea.
Uma equação é homogênea se
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação na forma diferencial, que é:
Separabilidade:
Uma equação diferencial é separável se conseguimos escrever e
de um lado e
e
do outro. Vamos tentar isolar
:
Uma equação diferencial é separável se conseguimos escrever
Isso nos dá de volta a forma normal. Como conseguimos isolar
em função de
e
, a equação é separável.
Exatidão:
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
, onde a equação está na forma
.
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Como
, a equação é exata.
Resposta
Na forma normal, a equação é linear e homogênea. Na forma diferencial, ela é separável e exata.