As seguintes equações diferenciais de primeira ordem são apresentadas na forma normal e na forma diferencial. Determine se as equações na forma normal são lineares e/ou homogêneas, e se as equaçōes sob forma diferencial são separáveis e/ou exatas.
y^prime=-2 yx ; 2 x y d x+x^2 d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma equação diferencial apresentada de duas formas: a forma normal e a forma diferencial. A gente precisa descobrir se, na forma normal, a equação é linear e/ou homogênea, e, na forma diferencial, se ela é separável e/ou exata. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação na forma normal, que é dada por:
y' = -2yx
Linearidade:
Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se ela pode ser escrita na forma y' + P(x)y = Q(x). Vamos comparar com a nossa equação:
y' + 2xy = 0
Aqui, P(x) = 2x e Q(x) = 0. Como está na forma y' + P(x)y = Q(x), a equação é linear.
Homogeneidade:
Uma equação é homogênea se Q(x) = 0. No nosso caso, Q(x) = 0, então a equação também é homogênea.

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação na forma diferencial, que é:
2xy,dx + x^2,dy = 0
Separabilidade:
Uma equação diferencial é separável se conseguimos escrever y e x de um lado e dy e dx do outro. Vamos tentar isolar dy:
x^2,dy = -2xy,dx dy = -2yx,dx
Isso nos dá de volta a forma normal. Como conseguimos isolar dy em função de y e x, a equação é separável.
Exatidão:
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x, onde a equação está na forma M,dx + N,dy = 0.
Aqui, M = 2xy e N = x^2.
Calculando as derivadas:
partial Mpartial y = 2x partial Npartial x = 2x
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata.

Resposta

Na forma normal, a equação é linear e homogênea. Na forma diferencial, ela é separável e exata.

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