As seguintes equações diferenciais de primeira ordem são apresentadas na forma normal e na forma diferencial. Determine se as equações na forma normal são lineares e/ou homogêneas, e se as equaçōes sob forma diferencial são separáveis e/ou exatas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma equação diferencial de primeira ordem de duas formas: a forma normal e a forma diferencial. Nosso objetivo é analisar cada forma para responder:
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Na forma normal (
): - Linearidade: Ver se a equação pode ser escrita como
. - Homogeneidade: Ver se todos os termos têm o mesmo grau.
- Linearidade: Ver se a equação pode ser escrita como
-
Na forma diferencial (
): - Separável: Se conseguimos separar as variáveis
e em lados diferentes da equação. - Exata: Se a equação satisfaz a condição de exatidão, ou seja, existe uma função potencial cuja derivada parcial coincide com os termos da equação.
- Separável: Se conseguimos separar as variáveis
Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Analisando a forma normal da equação:
A equação normal é dada por:
Primeiro, vamos simplificar essa expressão para ver se conseguimos identificar se é linear ou homogênea.
Simplificando o denominador:
Então, a equação fica:
Agora, temos:
Passo 3
Verificando a linearidade:
Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se puder ser escrita na forma:
Comparando com nossa equação:
Vemos que o termo
não é linear em
porque está multiplicado por
, que depende de
. Portanto, a equação não é linear.
Passo 4
Verificando a homogeneidade:
Uma equação é homogênea se todos os termos tiverem o mesmo grau quando
e
são escalados.
Vamos verificar os graus:
- No numerador:
tem grau 2 ( ). - No denominador:
também tem grau 2.
Como os graus são iguais, a equação é homogênea.
Passo 5
Resumindo a forma normal:
- Linear: Não linear.
- Homogênea: Sim, é homogênea.
Agora, vamos analisar a forma diferencial.
Passo 6
Analisando a forma diferencial da equação:
A forma diferencial é:
Queremos verificar se essa equação é separável ou exata.
Passo 7
Verificando se é separável:
Uma equação é separável se puder ser escrita como
, ou seja, se conseguimos separar os termos que dependem de
dos que dependem de
.
Vamos analisar:
Aqui, os termos estão misturados: temos
e
, o que dificulta separar somente
ou somente
. Portanto, a equação não é separável.
Passo 8
Verificando se é exata:
Uma equação diferencial da forma
é exata se satisfaz:
Vamos identificar
e
:
Calculando as derivadas parciais:
Comparando:
Como
, a equação não é exata.
Resposta
-
Forma normal:
- A equação não é linear.
- A equação é homogênea.
-
Forma diferencial:
- A equação não é separável.
- A equação não é exata.