As seguintes equações diferenciais de primeira ordem são apresentadas na forma normal e na forma diferencial. Determine se as equações na forma normal são lineares e/ou homogêneas, e se as equaçōes sob forma diferencial são separáveis e/ou exatas.
y^prime=x y^2x^2 y+y^3 ; x y^2 d x-(x^2 y+y^3) d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma equação diferencial de primeira ordem de duas formas: a forma normal e a forma diferencial. Nosso objetivo é analisar cada forma para responder:
  1. Na forma normal ( y' = x y^2x^2 y + y^3):
    • Linearidade: Ver se a equação pode ser escrita como y' + P(x)y = Q(x).
    • Homogeneidade: Ver se todos os termos têm o mesmo grau.
  2. Na forma diferencial ( x y^2 dx - (x^2 y + y^3) dy = 0):
    • Separável: Se conseguimos separar as variáveis x e y em lados diferentes da equação.
    • Exata: Se a equação satisfaz a condição de exatidão, ou seja, existe uma função potencial cuja derivada parcial coincide com os termos da equação.
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Analisando a forma normal da equação:
A equação normal é dada por:
y' = x y^2x^2 y + y^3
Primeiro, vamos simplificar essa expressão para ver se conseguimos identificar se é linear ou homogênea.
Simplificando o denominador:
x^2 y + y^3 = y(x^2 + y^2)
Então, a equação fica:
y' = x y^2y(x^2 + y^2) = x yx^2 + y^2
Agora, temos:
y' = x yx^2 + y^2

Passo 3

Verificando a linearidade:
Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se puder ser escrita na forma:
y' + P(x)y = Q(x)
Comparando com nossa equação:
y' = x yx^2 + y^2
Vemos que o termo x yx^2 + y^2 não é linear em y porque está multiplicado por xx^2 + y^2, que depende de y. Portanto, a equação não é linear.

Passo 4

Verificando a homogeneidade:
Uma equação é homogênea se todos os termos tiverem o mesmo grau quando x e y são escalados.
Vamos verificar os graus:
  • No numerador: x y tem grau 2 ( x^1 y^1).
  • No denominador: x^2 + y^2 também tem grau 2.
Como os graus são iguais, a equação é homogênea.

Passo 5

Resumindo a forma normal:
  • Linear: Não linear.
  • Homogênea: Sim, é homogênea.
Agora, vamos analisar a forma diferencial.

Passo 6

Analisando a forma diferencial da equação:
A forma diferencial é:
x y^2 dx - (x^2 y + y^3) dy = 0
Queremos verificar se essa equação é separável ou exata.

Passo 7

Verificando se é separável:
Uma equação é separável se puder ser escrita como M(x)dx + N(y)dy = 0, ou seja, se conseguimos separar os termos que dependem de x dos que dependem de y.
Vamos analisar:
x y^2 dx - (x^2 y + y^3) dy = 0
Aqui, os termos estão misturados: temos x y^2 dx e x^2 y dy, o que dificulta separar somente x ou somente y. Portanto, a equação não é separável.

Passo 8

Verificando se é exata:
Uma equação diferencial da forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é exata se satisfaz:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos identificar M e N:
M = x y^2, N = - (x^2 y + y^3)
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2 x y
partial Npartial x = -2 x y
Comparando:
2 x y neq -2 x y
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x, a equação não é exata.

Resposta

  • Forma normal:
    • A equação não é linear.
    • A equação é homogênea.
  • Forma diferencial:
    • A equação não é separável.
    • A equação não é exata.

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