(b) integral sen^2 2 t cos ^3 2 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sin^2(2t),cos^3(2t),dt. O conteúdo é integração de potências de funções trigonométricas e vamos usar a substituição trigonométrica após escrever a integral em termos de sin(2t).

Passo 2

Primeiro, separamos a potência de cos de modo a ter um fator cos(2t),dt para usar na substituição: reescrevemos
sin^2(2t),cos^3(2t),dt = sin^2(2t),l(cos^2(2t)r),cos(2t),dt = sin^2(2t),l(1 - sin^2(2t)r),cos(2t),dt

Passo 3

Definimos a substituição u = sin(2t). Então calcula-se a diferencial:
du = 2,cos(2t),dt Longrightarrow cos(2t),dt = du2

Passo 4

Substituindo na integral original temos
integral sin^2(2t)l(1-sin^2(2t)r),cos(2t),dt = integral u^2(1-u^2)du2 = 12integral l(u^2 - u^4r)du

Passo 5

Agora é só integrar polinômios:
12integral l(u^2 - u^4r)du = 12l(u^33 - u^55r) + C = u^36 - u^510 + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável t usando u=sin(2t):
sin^3(2t)6 - sin^5(2t)10 + C

Resposta

sin^3(2t)6 - sin^5(2t)10 + C

Exercícios relacionados