As seguintes equações são equações paramétricas de uma reta
r:l x=2+3 t y=-1+2 t z=10-t
(a) Calcule dois pontos e um vetor diretor de r.
(b) Verifique se Q=(5,1,8) e r pertencem a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com equações paramétricas de uma reta no espaço tridimensional. Precisamos fazer duas coisas:
  1. Encontrar dois pontos que estão na reta $ r $ e um vetor diretor que indica a direção da reta.
  2. Verificar se os pontos $ P=\left(\frac{7}{2}, 0, \frac{19}{2}\right) $ e $ Q=(5,1,8) $ estão realmente na reta $ r $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são equações paramétricas de uma reta. Elas descrevem a reta usando um parâmetro, geralmente $ t $, que varia ao longo dos números reais. As equações são dadas por:
t
Aqui, cada variável $ x $, $ y $ e $ z $ depende do parâmetro $ t $.

Passo 3

Para encontrar dois pontos na reta $ r $, basta escolhermos dois valores diferentes para $ t $ e calcularmos as coordenadas correspondentes.
Vamos escolher $ t = 0 $ e $ t = 1 $.
  • Para $ t = 0 $:
    r
    Então, um ponto na reta é $ P_0 = (2, -1, 10) $.
  • Para $ t = 1 $:
    t
    Então, outro ponto na reta é $ P_1 = (5, 1, 9) $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta $ r $. O vetor diretor é basicamente a “direção” da reta e é determinado pelos coeficientes de $ t $ nas equações paramétricas.
Olhando para as equações:
r
Os coeficientes de $ t $ são 3, 2 e -1, respectivamente. Então, o vetor diretor $ \vec{v} $ é:
t

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b) e verificar se os pontos $ P = \left(\frac{7}{2}, 0, \frac{19}{2}\right) $ e $ Q = (5, 1, 8) $ estão na reta $ r $.
Para o ponto $ P $:
  • Queremos encontrar um $ t $ que satisfaça: P = (72, 0, 192)
  • Resolvendo a segunda equação para $ t $: Q = (5, 1, 8)
  • Verificando as outras equações com $ t = \frac{1}{2} $: r P
  • Como todas as equações são satisfeitas, o ponto $ P $ está na reta $ r $.
Para o ponto $ Q $:
  • Queremos encontrar um $ t $ que satisfaça: t
  • Resolvendo a primeira equação para $ t $: 72 = 2 + 3t 0 = -1 + 2t 192 = 10 - t
  • Verificando as outras equações com $ t = 1 $: t 0 = -1 + 2t implies 2t = 1 implies t = 12 ã
  • Como a terceira equação não é satisfeita, o ponto $ Q $ não está na reta $ r $.

Resposta

(a) Dois pontos na reta $ r $ são $ P_0 = (2, -1, 10) $ e $ P_1 = (5, 1, 9) $. O vetor diretor da reta é $ \vec{v} = (3, 2, -1) $.
(b) O ponto $ P = \left(\frac{7}{2}, 0, \frac{19}{2}\right) $ pertence à reta $ r $, enquanto o ponto $ Q = (5, 1, 8) $ não pertence à reta $ r $.

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