Seja um plano que contém o ponto e possui os vetores diretores e .
(a) Determine as equações vetorial e paramétricas de .
(b) Determine a equação geral do plano.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um plano que passa pelo ponto e tem dois vetores diretores e . O conteúdo aqui é de Geometria Analítica, especificamente sobre equações de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como escrever a equação vetorial e paramétrica de um plano, além de encontrar a equação geral usando o produto vetorial para achar um vetor normal ao plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação vetorial do plano . A equação vetorial de um plano que passa por um ponto e tem dois vetores diretores e é dada por:
Aqui, é o vetor posição de qualquer ponto no plano, e são parâmetros reais.
Passo 3
Agora, vamos colocar os valores na equação vetorial. Sabemos que , e . Então:
Passo 4
Vamos separar isso em componentes para facilitar a visualização:
Passo 5
Simplificando as expressões:
Passo 6
Essa é a equação vetorial do plano. Agora, vamos para a equação paramétrica, que expressa cada coordenada separadamente em função dos parâmetros e :
Passo 7
Para a parte (b), queremos a equação geral do plano. Para isso, precisamos de um vetor normal n ao plano, que podemos encontrar fazendo o produto vetorial dos vetores diretores u e v: