Seja pi um plano que contém o ponto A=(1,-2,3) e possui os vetores diretores u= (1,2,4) e v=(-5,4,2).
(a) Determine as equações vetorial e paramétricas de pi.
(b) Determine a equação geral do plano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um plano pi que passa pelo ponto A=(1,-2,3) e tem dois vetores diretores u=(1,2,4) e v=(-5,4,2). O conteúdo aqui é de Geometria Analítica, especificamente sobre equações de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como escrever a equação vetorial e paramétrica de um plano, além de encontrar a equação geral usando o produto vetorial para achar um vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação vetorial do plano pi. A equação vetorial de um plano que passa por um ponto A e tem dois vetores diretores u e v é dada por:
r = A + s,u + t,v
Aqui, r é o vetor posição de qualquer ponto no plano, s e t são parâmetros reais.

Passo 3

Agora, vamos colocar os valores na equação vetorial. Sabemos que A=(1,-2,3), u=(1,2,4) e v=(-5,4,2). Então:
r = (1, -2, 3) + s,(1, 2, 4) + t,(-5, 4, 2)

Passo 4

Vamos separar isso em componentes para facilitar a visualização:
r = (1 + s cdot 1 + t cdot (-5),; -2 + s cdot 2 + t cdot 4,; 3 + s cdot 4 + t cdot 2)

Passo 5

Simplificando as expressões:
r = (1 + s - 5t,; -2 + 2s + 4t,; 3 + 4s + 2t)

Passo 6

Essa é a equação vetorial do plano. Agora, vamos para a equação paramétrica, que expressa cada coordenada separadamente em função dos parâmetros s e t:
x = 1 + s - 5t y = -2 + 2s + 4t z = 3 + 4s + 2t

Passo 7

Para a parte (b), queremos a equação geral do plano. Para isso, precisamos de um vetor normal n ao plano, que podemos encontrar fazendo o produto vetorial dos vetores diretores u e v:
n = u times v

Passo 8

Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k 1 & 2 & 4 -5 & 4 & 2 = i(2 cdot 2 - 4 cdot 4) - j(1 cdot 2 - 4 cdot (-5)) + k(1 cdot 4 - 2 cdot (-5))
n = i(4 - 16) - j(2 + 20) + k(4 + 10)
n = i(-12) - j(22) + k(14)
n = (-12, -22, 14)

Passo 9

Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -2:
n = (6, 11, -7)

Passo 10

Com o vetor normal n = (6, 11, -7) e o ponto A=(1,-2,3), a equação geral do plano é:
6(x - 1) + 11(y + 2) - 7(z - 3) = 0

Resposta

(a) A equação vetorial do plano é r = (1, -2, 3) + s,(1, 2, 4) + t,(-5, 4, 2) e as equações paramétricas são:
x = 1 + s - 5t y = -2 + 2s + 4t z = 3 + 4s + 2t
(b) A equação geral do plano é 6x + 11y - 7z = -29.

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