Nos seguintes exercícios, calcule (caso existe) o límite:
\lim _{x \rightarrow 0} f(x)\), onde \(f(x)= \begin{cases}x^{2}, & \text { se } x>0 \\\ x, & \text { se } x<0\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: calcular \lim_{x\to 0} f(x)\), onde a função é dada por \[f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \text{se } x>0,\\[4pt] x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para x>0\] a função vale \(\,x^{2}.
  • Para x<0 a função vale \,x.
  • Não foi dada a definição de f(0) — isso não impede calcular o limite.
    O que precisamos calcular: o limite bilateral \lim_{x\to 0} f(x). Para isso é necessário verificar os limites laterais \lim_{x\to 0^+} f(x) e \lim_{x\to 0^-} f(x).]

Passo 2

Conceito chave (explicado de maneira prática): o limite \lim_{x\to 0} f(x) existe e vale um número L se, e somente se,
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^-} f(x)=L.
Ou seja, as duas aproximações (pela direita e pela esquerda) precisam ter o mesmo resultado. Portanto vamos calcular separadamente a aproximação quando x se aproxima de 0 por valores positivos e por valores negativos.

Passo 3

Cálculo do limite pela direita: \lim_{x\to 0^+} f(x).
Para x>0 vale f(x)=x^{2}. Então precisamos de \lim_{x\to 0^+} x^{2}.
Intuição rápida: ao aproximar x de 0, x^{2} fica ainda menor (porque ao quadrado um número pequeno vira um número muito menor), por isso esperamos 0.
Prova elementar (epsilon‑delta) curta e prática: seja \varepsilon>0. Se escolhermos
\delta=\sqrt{\varepsilon},
então, para todo x com 0<x<\delta temos
|x^{2}-0|=x^{2}<\delta^{2}=\varepsilon.
Isso mostra que \lim_{x\to 0^+} x^{2}=0. Logo
\lim_{x\to 0^+} f(x)=0.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda: \lim_{x\to 0^-} f(x).
Para x<0 vale f(x)=x. Então precisamos de \lim_{x\to 0^-} x.
Intuição rápida: a função identidade x tende para 0 quando x vai para 0, independentemente do lado de onde se aproxima.
Prova elementar (epsilon‑delta) curta: seja \varepsilon>0. Escolha
\delta=\varepsilon.
Então, para todo x com -\delta<x<0 (isto é, x aproximando 0 pela esquerda), tem-se
|x-0|=|x|<\delta=\varepsilon.
Isso mostra que \lim_{x\to 0^-} x=0. Portanto
\lim_{x\to 0^-} f(x)=0.

Passo 5

Conclusão: os limites laterais coincidem:
\lim_{x\to 0^+} f(x)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^-} f(x)=0.
Pelo critério de existência do limite bilateral, segue que
\lim_{x\to 0} f(x)=0.
Observação final e encorajamento: mesmo que f(0) não esteja definido no enunciado, o limite existe e vale 0. Isso é exatamente o que costuma cair em prova — verificar limites laterais e mostrar igualdade. Você foi muito bem em seguir até aqui!

Resposta

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