Nos seguintes exercícios, calcule (caso existe) o límite:
Passo 1
O enunciado pede: calcular
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Para .
- Para
a função vale . - Não foi dada a definição de
— isso não impede calcular o limite.
O que precisamos calcular: o limite bilateral. Para isso é necessário verificar os limites laterais e .]
Passo 2
Conceito chave (explicado de maneira prática): o limite
existe e vale um número
se, e somente se,
Ou seja, as duas aproximações (pela direita e pela esquerda) precisam ter o mesmo resultado. Portanto vamos calcular separadamente a aproximação quando
se aproxima de
por valores positivos e por valores negativos.
Passo 3
Cálculo do limite pela direita:
.
Para vale
. Então precisamos de
.
Para
Intuição rápida: ao aproximar
de
,
fica ainda menor (porque ao quadrado um número pequeno vira um número muito menor), por isso esperamos
.
Prova elementar (epsilon‑delta) curta e prática: seja
. Se escolhermos
então, para todo
com
temos
Isso mostra que
. Logo
Passo 4
Cálculo do limite pela esquerda:
.
Para vale
. Então precisamos de
.
Para
Intuição rápida: a função identidade
tende para
quando
vai para
, independentemente do lado de onde se aproxima.
Prova elementar (epsilon‑delta) curta: seja
. Escolha
Então, para todo
com
(isto é,
aproximando
pela esquerda), tem-se
Isso mostra que
. Portanto
Passo 5
Conclusão: os limites laterais coincidem:
Pelo critério de existência do limite bilateral, segue que
Observação final e encorajamento: mesmo que
não esteja definido no enunciado, o limite existe e vale
. Isso é exatamente o que costuma cair em prova — verificar limites laterais e mostrar igualdade. Você foi muito bem em seguir até aqui!