Nos seguintes exercícios, calcule (caso existe) o límite:
\lim _{x \rightarrow 3} f(x), onde f(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{|x-3|}{x-3}, & \text { se } x \neq 3 \\\\ 0, & \text { se } x=3\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x\) tende a \(3\) da função \(f\) definida por partes: \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{|x-3|}{x-3}, & \text{se } x\neq 3,\\[6pt] 0, & \text{se } x=3. \end{cases}
Informações dadas:
  • Para x\neq 3\], a expressão é \(\dfrac{|x-3|}{x-3}.
  • Para x=3, o valor da função é 0.
    O que se pede: calcular \lim_{x\rightarrow 3} f(x), ou dizer que esse limite não existe, justificando.]

Passo 2

Vamos recordar uma propriedade básica do valor absoluto que é central aqui. Para qualquer número real a\) vale: \[|a|=\begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Aplicando isso com a=x-3\], obtemos a expressão de \(|x-3| em duas situações: quando x\ge 3 e quando x<3. Isso nos permite escrever \dfrac{|x-3|}{x-3} de forma mais simples em cada região (à direita e à esquerda de 3).]

Passo 3

Analisar para x>3 (aproximação pela direita):
Quando x>3 temos x-3>0, logo |x-3|=x-3. Substituindo na expressão para x\neq 3,
\frac{|x-3|}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}=1\qquad\text{para }x>3.
Como a função vale 1 em todos os pontos suficientemente próximos de 3 pela direita, o limite à direita é simplesmente esse valor constante:
\lim_{x\to 3^{+}} f(x)=1.

Passo 4

Analisar para x<3 (aproximação pela esquerda):
Quando x<3 temos x-3<0, logo |x-3|=-(x-3). Substituindo,
\frac{|x-3|}{x-3}=\frac{-(x-3)}{x-3}=-1\qquad\text{para }x<3.
Assim, para valores próximos de 3 pela esquerda a função vale constantemente -1, e o limite à esquerda é
\lim_{x\to 3^{-}} f(x)=-1.

Passo 5

Condição de existência do limite: o limite \lim_{x\to 3} f(x) existe se, e somente se, os limites laterais existem e são iguais:
\lim_{x\to 3^{-}} f(x)=\lim_{x\to 3^{+}} f(x).
Aqui encontramos
\lim_{x\to 3^{-}} f(x)=-1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 3^{+}} f(x)=1,
que são diferentes. Portanto os dois limites laterais não coincidem, logo o limite central \lim_{x\to 3} f(x) não existe.

Passo 6

Comentário didático e incentivo: uma maneira rápida de enxergar esse tipo de função na prova é reconhecer que \dfrac{|x-3|}{x-3} é a função sinal de x-3 (às vezes chamada de \operatorname{sgn}(x-3)), que toma valor 1 à direita do ponto e -1 à esquerda. Quando os valores à esquerda e à direita não batem, o limite no ponto falha em existir. Você fez certinho até aqui — esse é um padrão que cai bastante em provas!

Resposta

\lim_{x\rightarrow 3} f(x) não existe.

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