Nos seguintes exercícios, calcule (caso existe) o límite: \lim _{x \rightarrow 3} f(x), onde f(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{|x-3|}{x-3}, & \text { se } x \neq 3 \\\\ 0, & \text { se } x=3\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando x\) tende a \(3\) da função \(f\) definida por partes:
\[f(x)=\begin{cases} \dfrac{|x-3|}{x-3}, & \text{se } x\neq 3,\\[6pt] 0, & \text{se } x=3. \end{cases}
Informações dadas:
Para x\neq 3\], a expressão é \(\dfrac{|x-3|}{x-3}.
Para x=3, o valor da função é 0.
O que se pede: calcular \lim_{x\rightarrow 3} f(x), ou dizer que esse limite não existe, justificando.]
Passo 2
Vamos recordar uma propriedade básica do valor absoluto que é central aqui. Para qualquer número real a\) vale:
\[|a|=\begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Aplicando isso com a=x-3\], obtemos a expressão de \(|x-3| em duas situações: quando x\ge 3 e quando x<3. Isso nos permite escrever \dfrac{|x-3|}{x-3} de forma mais simples em cada região (à direita e à esquerda de 3).]
Passo 3
Analisar para x>3 (aproximação pela direita):
Quando x>3 temos x-3>0, logo |x-3|=x-3. Substituindo na expressão para x\neq 3,
que são diferentes. Portanto os dois limites laterais não coincidem, logo o limite central \lim_{x\to 3} f(x) não existe.
Passo 6
Comentário didático e incentivo: uma maneira rápida de enxergar esse tipo de função na prova é reconhecer que \dfrac{|x-3|}{x-3} é a função sinal de x-3 (às vezes chamada de \operatorname{sgn}(x-3)), que toma valor 1 à direita do ponto e -1 à esquerda. Quando os valores à esquerda e à direita não batem, o limite no ponto falha em existir. Você fez certinho até aqui — esse é um padrão que cai bastante em provas!